弧度与圆的度量练习题

Q: 为什么角必须用弧度？

公式 s=rθs=r\thetas=rθ 与 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\thetaA=21r2θ 只有在 θ\thetaθ 以弧度度量时才成立。如果题目给的是度数，先用 π rad=180∘\pi\ \text{rad}=180^{\circ}π rad=180∘ 换算，并在取任何正弦或余弦之前把计算器设为弧度模式。

Q: 扇形和弓形有什么区别？

扇形由两条半径和一段弧围成，像一块披萨。弓形由一条弦和一段弧围成。弓形面积用扇形面积减去三角形面积求得：12r2(θ−sin⁡θ)\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)21r2(θ−sinθ)。

Q: 怎样求扇形的周长？

把两条直边（各为一条半径）加上弯曲的弧：P=2r+s=2r+rθP=2r+s=2r+r\thetaP=2r+s=2r+rθ。常见的失误是把直径 2r2r2r 当作一条边，那两条边是两条各自独立的半径。

Q: 弓形答案算成负数或比扇形还大，哪里出错了？

几乎总是计算器处在度数模式，使 sin⁡θ\sin\thetasinθ 得到错误的值。在弧度下，对这些角 sin⁡θ\sin\thetasinθ 小于 θ\thetaθ，所以 θ−sin⁡θ\theta-\sin\thetaθ−sinθ 是一个小的正数，弓形是扇形的一小片。

Q: 最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确写出公式并正确代入即使最后算术出错也能拿到方法分。请始终先写公式那一行。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章，从简单的弧度与度数换算，到把扇形和三角形混在一起的弓形面积，逐题加深。每题给自己大约四到七分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，先写出公式，再代入数字，然后写出带单位的答案。

开始前请把计算器设为弧度模式，因为这里的每一条公式都要求 $\theta$ 以弧度表示。

只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。

由于 Add Math 采用分析式评分，即使最后算术出错，只要写出 $s=r\theta$ 或 $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ 并正确代入仍能拿到方法分，所以务必先写公式，再计算。

两个想法能打开整章。第一，弧度只是量角的另一种方式，它与半径相连，所以一整圈是 $2\pi$ 弧度，等于 $360^{\circ}$ 。

第二，一旦 $\theta$ 以弧度表示，弧长与扇形面积就服从整洁的公式 $s=r\theta$ 与 $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ ，而弓形永远是扇形去掉它的三角形。把这些画面记牢，大多数题目就变成选用哪条公式的问题。

六道练习题

Q1[2 marks]

（a）把 $\dfrac{\pi}{5}$ 弧度换成度数。（b）把 $150^{\circ}$ 换成弧度，答案保留为 $\pi$ 的倍数。

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每一次换算都依据同一个事实 $\pi\ \text{rad}=180^{\circ}$ 。从弧度换到度数，把 $\pi$ 换成 $180^{\circ}$ ：

\frac{\pi}{5}=\frac{180^{\circ}}{5}=36^{\circ}

反方向换算时，把度数乘以 $\dfrac{\pi}{180}$ 并约分：

150^{\circ}=150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\ \text{rad}

答案

（a） $\dfrac{\pi}{5}\ \text{rad}=36^{\circ}$ 。（b） $150^{\circ}=\dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}\approx2.618\ \text{rad}$ 。

Q2[3 marks]

某圆的一个扇形半径为 $8\ \text{cm}$ ，在圆心所对的圆心角为 $1.5$ 弧度。求（a）弧长，（b）扇形面积。

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（a）弧长用 $s=r\theta$ ，其中 $\theta$ 已经是弧度，无需换算。代入 $r=8$ 与 $\theta=1.5$ ：

s=r\theta=8\times1.5=12\ \text{cm}

（b）扇形面积用 $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ 。先把半径平方，再乘以二分之一和圆心角：

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(8)^{2}(1.5)=\tfrac{1}{2}(64)(1.5)=48\ \text{cm}^{2}

答案

（a）弧长 $=12\ \text{cm}$ 。（b）扇形面积 $=48\ \text{cm}^{2}$ 。

Q3[3 marks]

某圆的一个扇形半径为 $10\ \text{cm}$ ，弧长为 $25\ \text{cm}$ 。求（a）扇形的圆心角 $\theta$ （以弧度表示），（b）扇形的周长。

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（a）同一条公式 $s=r\theta$ 可以倒过来用。变形使 $\theta$ 成为主项，再代入 $s=25$ 与 $r=10$ ：

\theta=\frac{s}{r}=\frac{25}{10}=2.5\ \text{rad}

（b）扇形的周长是两条直的半径加上弯曲的弧，所以 $P=2r+s$ ，两条直边是两条各自独立的半径，而不是直径：

P=2r+s=2(10)+25=45\ \text{cm}

答案

（a） $\theta=2.5\ \text{rad}$ 。（b）周长 $=45\ \text{cm}$ 。

注意周长加的是两条半径，而不是直径。

Q4[4 marks]

某圆的一个扇形圆心角为 $0.5$ 弧度，面积为 $36\ \text{cm}^{2}$ 。求（a）圆的半径，（b）扇形的弧长。

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（a）这里的未知量是半径，所以从扇形面积公式出发，代入两个已知值 $A=36$ 与 $\theta=0.5$ ：

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta \;\Rightarrow\; 36=\tfrac{1}{2}r^{2}(0.5)=0.25\,r^{2}

解出 $r^{2}$ ，再取正的平方根，因为半径不能为负：

r^{2}=\frac{36}{0.25}=144 \;\Rightarrow\; r=12\ \text{cm}

（b）半径已知后，弧长立刻由 $s=r\theta$ 得出：

s=r\theta=12\times0.5=6\ \text{cm}

答案

（a）半径 $=12\ \text{cm}$ 。（b）弧长 $=6\ \text{cm}$ 。

检验： $\tfrac{1}{2}(12)^{2}(0.5)=\tfrac{1}{2}(144)(0.5)=36\ \text{cm}^{2}$ ，正是给定的面积。

Q5[5 marks]

半径为 $10\ \text{cm}$ 的圆中，一条弦在圆心所对的角为 $1.2$ 弧度。求这条弦所截出的劣弓形的面积。

答案精确到两位小数。[取 $\sin 1.2=0.9320$ 。

]

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弓形是从扇形中减去由两条半径构成的三角形后剩下的部分。所以它的面积等于扇形面积减去三角形面积，二者合并成一条公式：

A_{\text{弓形}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)

代入 $r=10$ 与 $\theta=1.2$ ，并让计算器处于弧度模式，使 $\sin1.2=0.9320$ 而不是度数下的值：

A_{\text{弓形}}=\tfrac{1}{2}(10)^{2}(1.2-0.9320)=50\times0.2680

A_{\text{弓形}}=13.40\ \text{cm}^{2}

答案

劣弓形的面积为 $13.40\ \text{cm}^{2}$ 。核对拆分：扇形 $=\tfrac{1}{2}(100)(1.2)=60\ \text{cm}^{2}$ ，三角形 $=\tfrac{1}{2}(100)(0.9320)=46.60\ \text{cm}^{2}$ ，而 $60-46.60=13.40\ \text{cm}^{2}$ 。

Q6[6 marks]

在以 $O$ 为圆心、半径为 $12\ \text{cm}$ 的圆中，扇形 $OAB$ 的圆心角 $\angle AOB=1$ 弧度。求（a）弧 $AB$ 的长，（b）扇形 $OAB$ 的面积，（c）弦 $AB$ 与弧 $AB$ 之间阴影弓形的面积。

（c）精确到两位小数。[取 $\sin 1=0.8415$ 。

]

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这道题把三条主要公式叠在一起，所以按顺序做。（a）弧长用 $s=r\theta$ ，其中 $r=12$ 、 $\theta=1$ ：

s=r\theta=12\times1=12\ \text{cm}

（b）扇形面积用 $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ ，代入同样的值：

A=\tfrac{1}{2}(12)^{2}(1)=\tfrac{1}{2}(144)(1)=72\ \text{cm}^{2}

（c）阴影区域是弓形，所以用 $\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ 从扇形中减去三角形，其中 $\sin1=0.8415$ ：

A_{\text{弓形}}=\tfrac{1}{2}(144)(1-0.8415)=72\times0.1585=11.41\ \text{cm}^{2}

答案

（a）弧 $AB=12\ \text{cm}$ 。（b）扇形 $OAB=72\ \text{cm}^{2}$ 。

（c）阴影弓形 $=11.41\ \text{cm}^{2}$ 。检验：三角形 $=\tfrac{1}{2}(144)(0.8415)=60.59\ \text{cm}^{2}$ ，而 $72-60.59=11.41\ \text{cm}^{2}$ 。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看公式是否正确、计算器是否在弧度模式、代入是否干净、最后数值的单位是否正确。

对每一小题都走一遍下面的清单，并确认得分或丢分的那一行。

弧度分：每条公式里的 $\theta$ 是否以弧度表示，取正弦之前计算器是否已设为弧度模式？
公式分：你在代入之前是否写出了 $s=r\theta$ 、 $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ 或 $\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ ？
弓形分：你是否把弓形当作扇形减三角形来处理，而不是硬套一条单一公式？
周长分：求扇形周长时，你加的是两条半径加弧长，而不是直径吗？
如果最后的数字错了但公式和代入都对，就给自己方法分，真正的考官正是这么做的。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，把计算器留在度数模式、加了直径而非两条半径，或忘了弓形是扇形减三角形，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

为什么角必须用弧度？

公式 $s=r\theta$ 与 $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ 只有在 $\theta$ 以弧度度量时才成立。如果题目给的是度数，先用 $\pi\ \text{rad}=180^{\circ}$ 换算，并在取任何正弦或余弦之前把计算器设为弧度模式。

扇形和弓形有什么区别？

扇形由两条半径和一段弧围成，像一块披萨。弓形由一条弦和一段弧围成。

弓形面积用扇形面积减去三角形面积求得： $\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ 。

怎样求扇形的周长？

把两条直边（各为一条半径）加上弯曲的弧： $P=2r+s=2r+r\theta$ 。常见的失误是把直径 $2r$ 当作一条边，那两条边是两条各自独立的半径。

弓形答案算成负数或比扇形还大，哪里出错了？

几乎总是计算器处在度数模式，使 $\sin\theta$ 得到错误的值。在弧度下，对这些角 $\sin\theta$ 小于 $\theta$ ，所以 $\theta-\sin\theta$ 是一个小的正数，弓形是扇形的一小片。

最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确写出公式并正确代入即使最后算术出错也能拿到方法分。

请始终先写公式那一行。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

弧度与圆的度量，练习题

如何使用这些练习题

六道练习题

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