三角形的解，例题（简单）

边 $a = 12$ 正好对着已知角 $A = 30^{\circ}$，而我们要求的边 $c$ 对着 $C = 45^{\circ}$。因为已经有一对完整的边与对角，正弦定理可以直接把它们联系起来：

把 $c$ 解出来，再代入 $a = 12$、$A = 30^{\circ}$ 与 $C = 45^{\circ}$：

取 $\sin 45^{\circ}=0.7071$、$\sin 30^{\circ}=0.5$，先算好分数再相乘：

这里你知道两条边和它们之间的夹角，所以正弦定理无法起步，还没有一对完整的边与对角。余弦定理正是为这种情形而设：

代入 $b = 5$、$c = 8$ 与 $A = 60^{\circ}$，把每一部分写清楚：

由于 $\cos 60^{\circ}=0.5$，一步一步化简数字：

取正的平方根，因为长度不能是负数：

已知三条边、要求一个角，就用余弦定理的变形，把角解出来。角 $C$ 对着边 $c$，所以 $c$ 是那条单独站着的边：

代入 $a = 3$、$b = 8$、$c = 7$，再分别化简分子与分母：

现在取反余弦：

面积公式所需的正是题目给你的，两条边和夹在它们之间的角。把这两条边叫作 $a$ 和 $b$，它们之间的角叫作 $C$：

代入两条边 $8$ 与 $9$ 及夹角 $30^{\circ}$，取 $\sin 30^{\circ}=0.5$：

边 $p = 14$ 正对着已知角 $P = 60^{\circ}$，而边 $q = 9$ 正对着要求的角 $Q$。有了一对完整的边与对角，再加一条边，正弦定理仍然可以用，这次用来求角：

把 $\sin Q$ 解出来，再代入 $p = 14$、$q = 9$、$P = 60^{\circ}$，并顺手化简分数：

现在取反正弦：

题目直接给了两个角，但已知的边 $c$ 与要求的边 $a$ 分别对着 $C$ 和 $A$，而 $C$ 还没求出来。先用三角形内角和求出缺的角：

现在边 $c = 10$（对着刚求出的 $C$）与边 $a$（对着 $A$）配成可用的一对，用正弦定理：

把 $a$ 解出来，再代入 $c = 10$、$A = 40^{\circ}$、$C = 45^{\circ}$：

这次面积已知，缺的是一条边，把面积公式变形，让未知边成为主体：

代入面积 $=24$、$a=8$，以及夹角 $C=30^{\circ}$，取 $\sin 30^{\circ}=0.5$：

周长需要三条边，但题目只给了两条，先用余弦定理求出第三边 $AC$，因为已知两条边及其夹角 $B$：

代入 $AB=10$、$BC=8$、$B=50^{\circ}$，取 $\cos 50^{\circ}=0.6428$：

取正的平方根：

现在把三条边加起来求周长：