三角形的解，练习题

两边及其夹角，直接指向余弦定理 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$。代入数值，取 $\cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2}$：

$$a^{2}=5^{2}+8^{2}-2(5)(8)\cos 60^{\circ}=25+64-80\left(\tfrac{1}{2}\right)$$

化简，再取正的平方根，因为长度不能为负：

$$a^{2}=89-40=49\;\Rightarrow\; a=\sqrt{49}=7$$

你有两个角和其中一个角的对边，所以用正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$。整理成以 $b$ 为主项：

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$$

代入精确值 $\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ 与 $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}$：

$$b=\frac{10\left(\tfrac{1}{2}\right)}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7.07$$

最大角总是对着最长的边，所以是角 $A$，对边 $a=7$。已知三边，用整理成求角形式的余弦定理：

$$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$$

代入 $a=7$、$b=5$、$c=3$，分子分母分别算：

$$\cos A=\frac{5^{2}+3^{2}-7^{2}}{2(5)(3)}=\frac{25+9-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$$

余弦为负，表示是钝角。取反余弦：

$$A=\cos^{-1}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=120^{\circ}$$

由两边及其夹角求三角形面积，用 $\text{面积}=\tfrac{1}{2}ab\sin C$。角 $C$ 夹在边 $a$ 与 $b$ 之间，所以公式可直接用：

$$\text{面积}=\frac{1}{2}(6)(10)\sin 30^{\circ}$$

用 $\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ 并化简：

$$\text{面积}=\frac{1}{2}(60)\left(\tfrac{1}{2}\right)=30\times\tfrac{1}{2}=15$$

(a) 两边及其夹角，需用余弦定理 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$。代入 $\cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2}$：

$$c^{2}=8^{2}+5^{2}-2(8)(5)\cos 60^{\circ}=64+25-80\left(\tfrac{1}{2}\right)$$

$$c^{2}=89-40=49\;\Rightarrow\; c=\sqrt{49}=7$$

(b) 用同样的两边与同样的夹角，面积为 $\tfrac{1}{2}ab\sin C$。用 $\sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$：

$$\text{面积}=\frac{1}{2}(8)(5)\sin 60^{\circ}=20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17.32$$

你有两边和其中一边的对角，所以用正弦定理解出 $\sin B$。整理 $\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$：

$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin 40^{\circ}}{8}$$

计算器设为角度制求值，取 $\sin 40^{\circ}\approx 0.6428$：

$$\sin B=\frac{10(0.6428)}{8}=\frac{6.428}{8}\approx 0.8035$$

由于 $b>a$，角 $B$ 可为锐角或钝角，所以既取计算器的值，也取它的补角 $180^{\circ}-B$：

$$B=\sin^{-1}(0.8035)\approx 53.46^{\circ}\quad\text{或}\quad B=180^{\circ}-53.46^{\circ}=126.54^{\circ}$$