Penyelesaian Segi Tiga Latihan

Q: Apakah kes berambiguiti?

Apabila petua sinus memberi sin⁡B\sin BsinB, sudut BBB mungkin tirus atau cakah, kerana sin⁡B=sin⁡(180∘−B)\sin B=\sin(180^{\circ}-B)sinB=sin(180∘−B). Jika kedua-dua nilai meninggalkan sudut ketiga yang positif, dua segi tiga mungkin dan anda mesti berikan kedua-duanya.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab Penyelesaian Segi Tiga, daripada satu sisi petua kosinus hingga kes berambiguiti dengan dua segi tiga yang mungkin. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, satu baris kaedah yang menyatakan petua yang digunakan, penggantian yang jelas, kemudian jawapan akhir yang dibundarkan dengan wajar.

Tetapkan kalkulator anda kepada darjah. Tahan keinginan untuk mengintai; hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris.

Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang. Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, petua yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik akhir tergelincir, jadi tulis penggantian anda sepenuhnya sebelum mencapai kalkulator.

Anggap halaman ini sebagai latihan, bukan ujian, tujuannya ialah mencari langkah lemah sekarang, sementara masih ada masa untuk membetulkannya.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $b=5\ \text{cm}$ , $c=8\ \text{cm}$ dan sudut kandung $A=60^{\circ}$ . Cari panjang sisi $a$ .

Show worked solution

Dua sisi dan sudut di antaranya menunjuk terus kepada petua kosinus, $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ . Gantikan nilai, dengan $\cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ :

a^{2}=5^{2}+8^{2}-2(5)(8)\cos 60^{\circ}=25+64-80\left(\tfrac{1}{2}\right)

Permudahkan, kemudian ambil punca kuasa dua positif kerana panjang tidak boleh negatif:

a^{2}=89-40=49\;\Rightarrow\; a=\sqrt{49}=7

Jawapan

$a=7\ \text{cm}$ . Sudut kandung $60^{\circ}$ dipilih kerana ia terletak antara dua sisi yang diketahui, itulah syarat tepat untuk petua kosinus digunakan terus.

Q2[3 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $A=45^{\circ}$ , $B=30^{\circ}$ dan sisi $a=10\ \text{cm}$ . Cari panjang sisi $b$ .

Show worked solution

Anda mempunyai dua sudut dan sisi bertentangan salah satu daripadanya, jadi gunakan petua sinus, $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ . Susun semula untuk menjadikan $b$ perkara rumus:

b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}

Gantikan nilai tepat $\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ dan $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ :

b=\frac{10\left(\tfrac{1}{2}\right)}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\approx 7.07

Jawapan

$b=5\sqrt{2}\approx 7.07\ \text{cm}$ . Semakan logik: $B=30^{\circ}$ lebih kecil daripada $A=45^{\circ}$ , jadi sisi bertentangannya $b$ sepatutnya lebih pendek daripada $a=10$ , dan $7.07<10$ , seperti dijangka.

Q3[4 marks]

Sebuah segi tiga mempunyai sisi $a=7\ \text{cm}$ , $b=5\ \text{cm}$ dan $c=3\ \text{cm}$ . Cari sudut terbesar segi tiga itu.

Show worked solution

Sudut terbesar sentiasa mengadap sisi terpanjang, jadi ia ialah sudut $A$ , bertentangan $a=7$ . Dengan tiga sisi diketahui, gunakan petua kosinus disusun semula untuk sudut:

\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

Gantikan $a=7$ , $b=5$ , $c=3$ , mengira pengangka dan penyebut secara berasingan:

\cos A=\frac{5^{2}+3^{2}-7^{2}}{2(5)(3)}=\frac{25+9-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}

Kosinus negatif bermakna sudut cakah. Ambil kosinus songsang:

A=\cos^{-1}\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=120^{\circ}

Jawapan

Sudut terbesar ialah $A=120^{\circ}$ . Nilai negatif $\cos A$ ialah isyarat bahawa sudut itu cakah; jika anda memperoleh kosinus positif di sini, itu memberi amaran ada tergelincir dalam penggantian.

Q4[4 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $a=6\ \text{cm}$ , $b=10\ \text{cm}$ dan sudut kandung $C=30^{\circ}$ . Cari luas segi tiga itu.

Show worked solution

Luas segi tiga daripada dua sisi dan sudut kandung ialah $\text{Luas}=\tfrac{1}{2}ab\sin C$ . Sudut $C$ terletak antara sisi $a$ dan $b$ , jadi rumus digunakan terus:

\text{Luas}=\frac{1}{2}(6)(10)\sin 30^{\circ}

Gunakan $\sin 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ dan permudahkan:

\text{Luas}=\frac{1}{2}(60)\left(\tfrac{1}{2}\right)=30\times\tfrac{1}{2}=15

Jawapan

Luasnya ialah $15\ \text{cm}^{2}$ . Dua sisi dalam rumus mesti yang mengapit sudut yang diberi; jika sudut yang diberi bukan antara dua sisi itu, cari pasangan lain atau sudut lain dahulu.

Q5[5 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $a=8\ \text{cm}$ , $b=5\ \text{cm}$ dan sudut kandung $C=60^{\circ}$ . Cari (a) panjang sisi $c$ , dan (b) luas segi tiga itu.

Show worked solution

(a) Dua sisi dan sudut di antaranya memerlukan petua kosinus, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ . Gantikan dengan $\cos 60^{\circ}=\tfrac{1}{2}$ :

c^{2}=8^{2}+5^{2}-2(8)(5)\cos 60^{\circ}=64+25-80\left(\tfrac{1}{2}\right)

c^{2}=89-40=49\;\Rightarrow\; c=\sqrt{49}=7

(b) Dengan dua sisi yang sama dan sudut kandung yang sama, luasnya ialah $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ . Gunakan $\sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

\text{Luas}=\frac{1}{2}(8)(5)\sin 60^{\circ}=20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17.32

Jawapan

$c=7\ \text{cm}$ dan luasnya ialah $10\sqrt{3}\approx 17.32\ \text{cm}^{2}$ . Perhatikan dua sisi yang sama dan sudut kandung yang sama memacu kedua-dua bahagian, petua kosinus untuk panjang, rumus sinus untuk luas.

Q6[5 marks]

Dalam segi tiga $ABC$ , $a=8\ \text{cm}$ , $b=10\ \text{cm}$ dan $A=40^{\circ}$ . Cari dua nilai yang mungkin bagi sudut $B$ , setiap satu kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Anda mempunyai dua sisi dan sudut bertentangan salah satunya, jadi gunakan petua sinus dan selesaikan untuk $\sin B$ . Susun semula $\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin A}{a}$ :

\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin 40^{\circ}}{8}

Nilaikan dengan kalkulator dalam darjah, menggunakan $\sin 40^{\circ}\approx 0.6428$ :

\sin B=\frac{10(0.6428)}{8}=\frac{6.428}{8}\approx 0.8035

Oleh sebab $b>a$ , sudut $B$ boleh tirus atau cakah, jadi ambil kedua-dua nilai kalkulator dan penggenapnya $180^{\circ}-B$ :

B=\sin^{-1}(0.8035)\approx 53.46^{\circ}\quad\text{atau}\quad B=180^{\circ}-53.46^{\circ}=126.54^{\circ}

Jawapan

$B\approx 53.46^{\circ}$ atau $B\approx 126.54^{\circ}$ . Kedua-duanya sah: dengan $A=40^{\circ}$ , sudut baki $C$ ialah $86.54^{\circ}$ atau $13.46^{\circ}$ , dan kedua-duanya positif, jadi dua segi tiga sebenar wujud.

Inilah kes berambiguiti, jangan lupa sudut kedua.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari petua yang betul dipilih, nilai yang tepat dimasukkan, dan jawapan akhir yang jelas dinyatakan pada kejituan wajar dengan unit.

Markah kaedah: adakah anda memilih petua yang betul, petua kosinus bagi dua sisi dan sudut kandung, atau tiga sisi; petua sinus bagi pasangan sudut-sisi; $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ bagi luas?
Markah penggantian: adakah sisi dan sudut yang betul diletakkan dengan betul, dengan kalkulator ditetapkan kepada darjah?
Markah jawapan: adakah nilai akhir dinyatakan dengan jelas, dibundarkan dengan wajar, dan semakan logik pada saiz sisi dan sudut bersetuju?
Bagi kes berambiguiti, anda hanya memperoleh markah penuh dengan memberi kedua-dua nilai tirus dan cakah bagi sudut itu.
Jika nombor akhir anda salah tetapi baris petua dan penggantian betul, berikan diri anda markah itu, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, petua salah dipilih bagi maklumat yang diberi, kalkulator tertinggal dalam radian, atau hanya satu sudut diberi dalam kes berambiguiti, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Berapa lama masa yang patut saya ambil bagi setiap soalan?

Sasarkan kira-kira lima hingga lapan minit setiap satu, meningkat dengan nilai markah. Jika satu soalan mengambil masa jauh lebih lama, catatkan dan bawa ke kelas, masa yang dicurinya dalam peperiksaan selalunya masalah sebenar, bukan topik itu sendiri.

Bila saya guna petua sinus dan bila petua kosinus?

Gunakan petua kosinus apabila anda ada dua sisi dan sudut di antaranya, atau ketiga-tiga sisi. Gunakan petua sinus apabila anda ada pasangan sepadan, satu sisi dan sudut bertentangannya, serta satu lagi maklumat sejenis.

Apakah kes berambiguiti?

Apabila petua sinus memberi $\sin B$ , sudut $B$ mungkin tirus atau cakah, kerana $\sin B=\sin(180^{\circ}-B)$ . Jika kedua-dua nilai meninggalkan sudut ketiga yang positif, dua segi tiga mungkin dan anda mesti berikan kedua-duanya.

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris petua yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menunjukkan kerja penuh sebelum menggunakan kalkulator.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Penyelesaian Segi Tiga, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?