指数例题（中等）| SPM Add Math

Q: 指数与综合指数有什么区别？

指数把一种商品的价格和它的基年价格作比较。综合指数用权重把若干个这样的指数合成一个数：Iˉ=∑Iw∑w\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}Iˉ=∑w∑Iw。

Q: 我应该除以商品数目还是总权重？

除以总权重 ∑w\sum w∑w。只有当每个权重都相等时（也就是无权重这个特例），除以商品数目才成立。

Q: 怎样由给定的综合指数求出缺失的权重？

令综合指数等于 ∑Iw∑w\frac{\sum I w}{\sum w}∑w∑Iw，两边乘以分母，再归并未知量的项并求解。务必把答案代回去核对综合指数。

这些例题涵盖什么

这组中等的指数例题迈出大多数 SPM 题目所依赖的一步：用权重把几个价格指数合成为一个综合指数，写成 $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ 。三道题要你从一张小表格算出综合指数、把同一组商品在有权重与无权重下作比较从而看清权重到底起什么作用，然后由已知的综合指数反推出缺失的权重。

每一题都用小而干净的数字，让算术不会盖住方法。把解答盖住，在纸上完整做一遍，再逐行对照。

当答案不同时，找出两份解答分岔的那一步，那里就是学到东西的地方。

例题解析

三题按顺序全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一个公式 $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ 如何正着读用来求综合指数、倒着读用来求缺失的量。

Q1[4 marks]

一个家庭购物篮里有三种商品 A、B、C。它们在 2023 年以 2020 年为基年的价格指数分别为 $110$ 、 $120$ 、 $130$ ，权重分别为 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 。

求 2023 年以 2020 年为基年的综合指数。

Show worked solution

综合指数是各个指数的加权平均。写出公式，其中每个指数 $I$ 都乘以它的权重 $w$ ：

\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}

在分子上把每个指数乘以它的权重，在分母上把权重相加：

\bar{I}=\frac{110(2)+120(3)+130(5)}{2+3+5}

先算乘积，再算两个和：

\bar{I}=\frac{220+360+650}{10}=\frac{1230}{10}=123

答案

综合指数是 $123$ 。它落在最小指数 $110$ 和最大指数 $130$ 之间，加权平均必然如此，并且偏向 $130$ ，因为商品 C 的权重最重。

Q2[4 marks]

两种商品 X、Y 在 2024 年以 2019 年为基年的价格指数为 $118$ 和 $132$ 。(a) 若两种商品权重相等（无权重），求综合指数。

(b) 若 X、Y 的权重为 $3$ 和 $1$ ，求综合指数。简要说明两个答案为何不同。

Show worked solution

(a) 无权重时，综合指数就是两个指数的简单平均：

\bar{I}=\frac{118+132}{2}=\frac{250}{2}=125

(b) 权重为 $3$ 和 $1$ 时，把每个指数乘以它的权重，再除以总权重：

\bar{I}=\frac{118(3)+132(1)}{3+1}=\frac{354+132}{4}=\frac{486}{4}=121.5

答案

无权重时综合指数是 $125$ ；权重为 $3$ 和 $1$ 时是 $121.5$ 。较重的权重 $3$ 落在商品 X 上，而它的指数 $118$ 是两者中较低的，所以加权综合指数被拉向 X 而下降。

Q3[4 marks]

一个购物篮里有三种商品 P、Q、R，价格指数分别为 $105$ 、 $115$ 、 $125$ ，权重分别为 $3$ 、 $w$ 、 $2$ 。综合指数是 $114$ 。

求 $w$ 的值。

Show worked solution

把综合指数公式倒着读：已知的综合指数放左边，加权和放右边，让 $w$ 作为未知量。

114=\frac{105(3)+115w+125(2)}{3+w+2}

把不含 $w$ 的部分化简：分子变为 $315+115w+250=565+115w$ ，分母是 $5+w$ ：

114=\frac{565+115w}{5+w}

两边都乘以 $5+w$ 去掉分数，再把含 $w$ 的项归并：

114(5+w)=565+115w

570+114w=565+115w

570-565=115w-114w \;\Rightarrow\; 5=w

答案

权重是 $w=5$ 。代回检验： $\frac{105(3)+115(5)+125(2)}{3+5+2}=\frac{315+575+250}{10}=\frac{1140}{10}=114$ ，正是所给的综合指数。

Q4[4 marks]

某教科书的价格在 2021 年为 RM24，到 2024 年上涨到 RM28.80。(a) 求该教科书 2024 年以 2021 年为基年的价格指数。

(b) 若价格此后每三年都以相同的比率上涨，求该教科书在 2027 年的价格。

Show worked solution

(a) 只要求单一价格指数，套用基本指数公式，把现价 $P_1$ 与基年价格 $P_0$ 相比较：

I=\frac{P_1}{P_0}\times100

代入 2024 年的 $P_1=28.80$ 与 2021 年的 $P_0=24$ ：

I=\frac{28.80}{24}\times100=120

(b) 由于价格此后每三年都以相同的比率上涨，下一个三年期的指数同样是 $120$ 。把它用在 2024 年的价格上，即可算出 2027 年的价格：

P_{2027}=28.80\times\frac{120}{100}=34.56

答案

2024 年以 2021 年为基年的价格指数是 $120$ （上涨 20%）。按同样的比率继续，2027 年的价格是 RM34.56，每三年价格乘以 $1.2$ ，而 $24\times1.2\times1.2=34.56$ 正好验证了这一点。

Q5[4 marks]

某玩具 2022 年以 2020 年为基年的指数是 $120$ 。同一玩具 2024 年以 2022 年为基年的指数是 $125$ 。

求该玩具 2024 年以 2020 年为基年的指数。

Show worked solution

这里把三个年份，2020、2022、2024，串联起来，因此要用指数的链式法则：把两个已知指数相乘，再除以 100，因为中间那个指数本身就是相对于第一个基年的百分比。

I_{2020,2024}=\frac{I_{2020,2022}\times I_{2022,2024}}{100}

代入两个已知的指数：

I_{2020,2024}=\frac{120\times125}{100}

I_{2020,2024}=\frac{15000}{100}=150

答案

2024 年以 2020 年为基年的指数是 $150$ ，即整体上涨了 50%。这比直接把两次涨幅 20% 和 25% 相加还要多，因为第二次涨幅是建立在已经涨过一次的 2022 年价格之上，链式计算是把增长相乘，而不是相加。

Q6[4 marks]

三种家庭用品 P、Q、R 在 2024 年以 2022 年为基年的价格指数分别为 $108$ 、 $115$ 、 $122$ ，权重分别为 $1$ 、 $2$ 、 $2$ 。(a) 求 2024 年以 2022 年为基年的综合指数。

(b) 一个家庭在 2022 年为这三种用品总共花费 RM350。估计他们在 2024 年购买同样用品的总花费。

Show worked solution

(a) 就是熟悉的加权平均：

\bar{I}=\frac{108(1)+115(2)+122(2)}{1+2+2}

\bar{I}=\frac{108+230+244}{5}=\frac{582}{5}=116.4

(b) 综合指数比较总花费的方式，跟单一价格指数比较单一价格的方式相同，所以 2024 年的总花费等于 2022 年的总花费乘以 $\frac{\bar{I}}{100}$ ：

\text{花费}_{2024}=350\times\frac{116.4}{100}=407.4

答案

综合指数是 $116.4$ ，所以这家人在 2024 年的总花费上升到约 RM407.40，上涨约 16.4%，与指数相符。

Q7[4 marks]

2020 年某商店以每盒 RM12 售出 5 盒笔记本，以每盒 RM20 售出 2 盒钢笔。以 2020 年花在每种商品上的金额作为其权重，并已知 2023 年以 2020 年为基年的价格指数：笔记本为 $110$ ，钢笔为 $125$ ，求 2023 年以 2020 年为基年的综合指数。

Show worked solution

这里的权重没有直接给出，它是 2020 年花在每种商品上的金额，所以先把每个权重算成价格乘以数量：

w_{\text{笔记本}}=5(12)=60 \qquad w_{\text{钢笔}}=2(20)=40

现在把这些权重连同给定的价格指数代入综合指数公式：

\bar{I}=\frac{110(60)+125(40)}{60+40}

\bar{I}=\frac{6600+5000}{100}=\frac{11600}{100}=116

答案

综合指数是 $116$ 。它落在两个单独指数 $110$ 和 $125$ 之间，符合预期，并且更靠近 $110$ ，因为笔记本的权重 $60$ 较大。

Q8[4 marks]

某工作坊在 2020 年生产了 $2400$ 件玩具车，在 2023 年生产了 $2760$ 件。(a) 求 2023 年以 2020 年为基年的数量指数。

(b) 若该工作坊希望 2025 年以 2020 年为基年的数量指数达到 $150$ ，求 2025 年必须生产的件数。

Show worked solution

指数也可以像比较价格一样比较产量，用同样的公式，只是把 $P$ 换成 $Q$ ：

I=\frac{Q_1}{Q_0}\times100

(a) 代入 2023 年与 2020 年的产量：

I=\frac{2760}{2400}\times100=115

(b) 用同样的公式，代入目标指数 $150$ ，求出未知的 2025 年产量 $Q_{2025}$ ：

150=\frac{Q_{2025}}{2400}\times100 \;\Rightarrow\; Q_{2025}=\frac{150\times2400}{100}=3600

答案

2023 年的数量指数是 $115$ ；要在 2025 年达到指数 $150$ ，工作坊必须生产 $3600$ 件，是 2020 年产量的一点五倍，与指数 $150$ 相符。

在这三题里你已经把综合指数公式两个方向都读过：正着把各指数调成一个数，倒着把缺失的权重找回来。每一次的纪律都一样，把每个指数乘以它的权重、把分子和权重分别求和、并且在最后一步之前保持分数完整。

关键方法要点

这三道例题演练的是承载大多数几分制指数题的综合指数技能。多做练习时，记住以下几点。

综合指数是加权平均， $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ ：上方是每个指数乘以它的权重，下方是总权重。
综合指数总是落在最小指数与最大指数之间，并偏向权重最重的那些指数。
无权重时，每种商品同等计入，所以综合指数就是各指数的简单平均。
求缺失的权重或指数时，把已知综合指数等于该分数并求解，先乘开分母，再归并同类项。
检验综合指数：确认它落在极端指数之间；检验反解出的权重：把它代入完整公式。
由于采用分析式评分，写出 $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ 并清楚代入，即使还没算出最终值也能拿到方法分。

老师如何帮忙

综合指数在两个可预见的地方绊倒学生：用商品数目而不是总权重去除，以及在乘开求缺失权重时漏掉一项。在一对一的课堂上，我们的老师会抓住出错的那一行，示范能防止这种错误的整洁排布。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚分母为什么是权重之和、而不是商品个数的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

指数与综合指数有什么区别？

指数把一种商品的价格和它的基年价格作比较。综合指数用权重把若干个这样的指数合成一个数： $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ 。

我应该除以商品数目还是总权重？

除以总权重 $\sum w$ 。只有当每个权重都相等时（也就是无权重这个特例），除以商品数目才成立。

权重究竟代表什么？

它反映一种商品在购物篮里的重要程度，它占了多少开支。权重越大，综合指数就越被拉近该商品自身的指数。

怎样由给定的综合指数求出缺失的权重？

令综合指数等于 $\frac{\sum I w}{\sum w}$ ，两边乘以分母，再归并未知量的项并求解。务必把答案代回去核对综合指数。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

指数（Index Number），例题（中等）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

准备好开始了吗？