Nombor Indeks Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Adakah saya bahagi dengan bilangan barang atau jumlah pemberat?

Dengan jumlah pemberat, ∑w\sum w∑w. Membahagi dengan bilangan barang hanya berkesan apabila setiap pemberat sama, iaitu kes khas tanpa pemberat.

Q: Bagaimana saya mencari pemberat yang hilang daripada indeks gubahan yang diberi?

Samakan indeks gubahan dengan ∑Iw∑w\frac{\sum I w}{\sum w}∑w∑Iw, darab kedua-dua belah dengan penyebut, kemudian kumpulkan sebutan yang tidak diketahui dan selesaikan. Sentiasa gantikan semula jawapan untuk mengesahkan indeks gubahan.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Nombor Indeks sederhana ini mengambil langkah yang menjadi tunjang kebanyakan soalan SPM: menggabungkan beberapa indeks harga menjadi satu indeks gubahan menggunakan pemberat, ditulis $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ . Tiga soalan ini meminta anda mengira indeks gubahan daripada jadual kecil, membandingkan barang yang sama dengan dan tanpa pemberat supaya anda nampak apa yang sebenarnya dilakukan oleh pemberat, dan kemudian bekerja ke belakang daripada indeks gubahan yang diketahui kepada pemberat yang hilang.

Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas supaya aritmetik tidak pernah menyembunyikan kaedah. Tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, kemudian semak baris demi baris.

Apabila jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat dua penyelesaian bercapah, di situlah pembelajaran berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya mengikut susunan. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana rumus yang sama, $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ , dibaca ke hadapan untuk mencari indeks gubahan dan ke belakang untuk mencari kuantiti yang hilang.

Q1[4 marks]

Sebuah bakul isi rumah mengandungi tiga barang A, B dan C. Indeks harga mereka bagi 2023 berasaskan 2020 ialah $110$ , $120$ dan $130$ , dengan pemberat $2$ , $3$ dan $5$ masing-masing.

Cari indeks gubahan bagi 2023 berasaskan 2020.

Show worked solution

Indeks gubahan ialah min berpemberat bagi indeks-indeks berasingan. Tulis rumus, dengan setiap indeks $I$ didarab dengan pemberatnya $w$ :

\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}

Darab setiap indeks dengan pemberatnya pada pengangka, dan campurkan pemberat pada penyebut:

\bar{I}=\frac{110(2)+120(3)+130(5)}{2+3+5}

Kerjakan hasil darab, kemudian dua hasil tambah:

\bar{I}=\frac{220+360+650}{10}=\frac{1230}{10}=123

Jawapan

Indeks gubahan ialah $123$ . Ia terletak antara indeks terkecil $110$ dan terbesar $130$ , seperti yang mesti berlaku bagi min berpemberat, dan condong ke arah $130$ kerana barang C membawa pemberat paling berat.

Q2[4 marks]

Dua barang X dan Y mempunyai indeks harga $118$ dan $132$ bagi 2024 berasaskan 2019. (a) Cari indeks gubahan jika kedua-dua barang diberi pemberat sama (tanpa pemberat).

(b) Cari indeks gubahan jika X dan Y diberi pemberat $3$ dan $1$ . Terangkan secara ringkas mengapa dua jawapan itu berbeza.

Show worked solution

(a) Tanpa pemberat, indeks gubahan hanyalah min mudah bagi dua indeks itu:

\bar{I}=\frac{118+132}{2}=\frac{250}{2}=125

(b) Dengan pemberat $3$ dan $1$ , darab setiap indeks dengan pemberatnya dan bahagi dengan jumlah pemberat:

\bar{I}=\frac{118(3)+132(1)}{3+1}=\frac{354+132}{4}=\frac{486}{4}=121.5

Jawapan

Tanpa pemberat indeks gubahan ialah $125$ ; dengan pemberat $3$ dan $1$ ia menjadi $121.5$ . Pemberat lebih berat $3$ terletak pada barang X, yang indeksnya $118$ lebih rendah antara kedua-duanya, jadi indeks gubahan berpemberat ditarik turun ke arah X.

Q3[4 marks]

Sebuah bakul mengandungi tiga barang P, Q dan R dengan indeks harga $105$ , $115$ dan $125$ serta pemberat $3$ , $w$ dan $2$ masing-masing. Indeks gubahan ialah $114$ .

Cari nilai $w$ .

Show worked solution

Baca rumus indeks gubahan ke belakang: letakkan indeks gubahan yang diketahui di sebelah kiri dan hasil tambah berpemberat di sebelah kanan, membiarkan $w$ sebagai yang tidak diketahui.

114=\frac{105(3)+115w+125(2)}{3+w+2}

Permudahkan bahagian yang tidak melibatkan $w$ : pengangka menjadi $315+115w+250=565+115w$ , dan penyebut ialah $5+w$ :

114=\frac{565+115w}{5+w}

Darab kedua-dua belah dengan $5+w$ untuk hapuskan pecahan, kemudian kumpulkan sebutan $w$ :

114(5+w)=565+115w

570+114w=565+115w

570-565=115w-114w \;\Rightarrow\; 5=w

Jawapan

Pemberatnya ialah $w=5$ . Semak dengan menggantikan semula: $\frac{105(3)+115(5)+125(2)}{3+5+2}=\frac{315+575+250}{10}=\frac{1140}{10}=114$ , iaitu indeks gubahan yang diberi.

Q4[4 marks]

Harga sebuah buku teks tertentu ialah RM24 pada tahun 2021 dan meningkat kepada RM28.80 pada tahun 2024. (a) Cari indeks harga buku teks itu bagi 2024 berasaskan 2021.

(b) Jika harga terus meningkat pada kadar yang sama setiap tiga tahun, cari harga buku teks itu pada tahun 2027.

Show worked solution

Bahagian (a) meminta satu indeks harga sahaja, jadi guna rumus indeks asas, yang membandingkan harga semasa $P_1$ dengan harga tahun asas $P_0$ :

I=\frac{P_1}{P_0}\times100

Gantikan $P_1=28.80$ bagi 2024 dan $P_0=24$ bagi 2021:

I=\frac{28.80}{24}\times100=120

Bahagian (b): oleh sebab harga meningkat pada kadar yang sama setiap tiga tahun, indeks bagi tempoh tiga tahun berikutnya juga $120$ . Gunakannya pada harga 2024 untuk sampai ke 2027:

P_{2027}=28.80\times\frac{120}{100}=34.56

Jawapan

Indeks harga bagi 2024 berasaskan 2021 ialah $120$ (kenaikan 20%). Meneruskan kadar yang sama memberi harga 2027 sebanyak RM34.56, setiap lompatan tiga tahun mendarab harga dengan $1.2$ , dan $24\times1.2\times1.2=34.56$ mengesahkannya.

Q5[4 marks]

Nombor indeks sebuah mainan bagi 2022 berasaskan 2020 ialah $120$ . Nombor indeks mainan yang sama bagi 2024 berasaskan 2022 ialah $125$ .

Cari nombor indeks mainan itu bagi 2024 berasaskan 2020.

Show worked solution

Tiga tahun dikaitkan di sini, 2020, 2022 dan 2024, jadi guna peraturan rantaian bagi nombor indeks: darab dua indeks yang diberi dan bahagi dengan 100, kerana indeks tengah itu sendiri ialah peratusan daripada asas pertama.

I_{2020,2024}=\frac{I_{2020,2022}\times I_{2022,2024}}{100}

Gantikan kedua-dua nombor indeks yang diberi:

I_{2020,2024}=\frac{120\times125}{100}

I_{2020,2024}=\frac{15000}{100}=150

Jawapan

Nombor indeks bagi 2024 berasaskan 2020 ialah $150$ , iaitu kenaikan keseluruhan 50%. Ini lebih daripada sekadar menambah dua kenaikan berasingan 20% dan 25%, kerana kenaikan kedua terpakai pada harga 2022 yang sudah lebih tinggi, rantaian mendarab pertumbuhan, bukan menambahnya.

Q6[4 marks]

Indeks harga tiga barang isi rumah P, Q dan R bagi 2024 berasaskan 2022 ialah $108$ , $115$ dan $122$ , dengan pemberat $1$ , $2$ dan $2$ masing-masing. (a) Hitung indeks gubahan bagi 2024 berasaskan 2022.

(b) Sebuah keluarga membelanjakan RM350 secara keseluruhan bagi ketiga-tiga barang ini pada 2022. Anggarkan jumlah perbelanjaan mereka bagi barang yang sama pada 2024.

Show worked solution

Bahagian (a) ialah min berpemberat yang biasa:

\bar{I}=\frac{108(1)+115(2)+122(2)}{1+2+2}

\bar{I}=\frac{108+230+244}{5}=\frac{582}{5}=116.4

Bahagian (b): indeks gubahan membandingkan jumlah perbelanjaan dengan cara yang sama seperti satu indeks harga membandingkan satu harga, jadi jumlah perbelanjaan pada 2024 sama dengan jumlah perbelanjaan pada 2022 diskalakan dengan $\frac{\bar{I}}{100}$ :

\text{Perbelanjaan}_{2024}=350\times\frac{116.4}{100}=407.4

Jawapan

Indeks gubahan ialah $116.4$ , jadi jumlah perbelanjaan keluarga itu meningkat kepada lebih kurang RM407.40 pada 2024, peningkatan lebih kurang 16.4%, sepadan dengan indeks itu.

Q7[4 marks]

Pada 2020 sebuah kedai menjual 5 kotak buku nota pada RM12 sekotak, dan 2 kotak pen pada RM20 sekotak. Dengan mengambil jumlah perbelanjaan bagi setiap barang pada 2020 sebagai pemberatnya, dan diberi indeks harga bagi 2023 berasaskan 2020 ialah $110$ bagi buku nota dan $125$ bagi pen, cari indeks gubahan bagi 2023 berasaskan 2020.

Show worked solution

Pemberat di sini tidak diberi secara terus, ia ialah jumlah perbelanjaan bagi setiap barang pada 2020, jadi cari setiap pemberat dahulu sebagai harga darab kuantiti:

w_{\text{buku nota}}=5(12)=60 \qquad w_{\text{pen}}=2(20)=40

Sekarang gantikan pemberat ini dan indeks harga yang diberi ke dalam rumus indeks gubahan:

\bar{I}=\frac{110(60)+125(40)}{60+40}

\bar{I}=\frac{6600+5000}{100}=\frac{11600}{100}=116

Jawapan

Indeks gubahan ialah $116$ . Ia terletak antara dua indeks berasingan $110$ dan $125$ seperti sepatutnya, dan lebih hampir kepada $110$ kerana buku nota membawa pemberat lebih besar iaitu $60$ .

Q8[4 marks]

Sebuah bengkel menghasilkan $2400$ unit kereta mainan pada 2020 dan $2760$ unit pada 2023. (a) Cari indeks kuantiti bagi 2023 berasaskan 2020.

(b) Jika bengkel itu mahu indeks kuantiti bagi 2025 berasaskan 2020 mencapai $150$ , cari bilangan unit yang perlu dihasilkan pada 2025.

Show worked solution

Nombor indeks boleh membandingkan kuantiti yang dihasilkan sama seperti ia membandingkan harga, rumus yang sama terpakai, dengan $Q$ menggantikan $P$ :

I=\frac{Q_1}{Q_0}\times100

Bahagian (a): gantikan angka pengeluaran 2023 dan 2020:

I=\frac{2760}{2400}\times100=115

Bahagian (b): guna rumus yang sama dengan indeks sasaran $150$ dan selesaikan bagi pengeluaran 2025 yang tidak diketahui, $Q_{2025}$ :

150=\frac{Q_{2025}}{2400}\times100 \;\Rightarrow\; Q_{2025}=\frac{150\times2400}{100}=3600

Jawapan

Indeks kuantiti bagi 2023 ialah $115$ ; untuk mencapai indeks $150$ menjelang 2025 bengkel itu perlu menghasilkan $3600$ unit, satu setengah kali ganda pengeluaran 2020, sepadan dengan indeks $150$ .

Menerusi ketiga-tiga ini anda telah membaca rumus gubahan dalam dua arah: ke hadapan untuk mengadun indeks menjadi satu nombor, dan ke belakang untuk mendapatkan semula pemberat yang hilang. Disiplinnya sama setiap kali, darab setiap indeks dengan pemberatnya, jumlahkan pengangka dan pemberat secara berasingan, dan kekalkan pecahan utuh sehingga langkah terakhir.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih kemahiran indeks gubahan yang membawa kebanyakan soalan Nombor Indeks yang bernilai beberapa markah. Ingat yang berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Indeks gubahan ialah min berpemberat, $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ : setiap indeks didarab pemberatnya di atas, jumlah pemberat di bawah.
Indeks gubahan sentiasa terletak antara indeks terkecil dan terbesar, dan condong ke arah indeks yang pemberatnya paling berat.
Tanpa pemberat, setiap barang dikira sama, jadi indeks gubahan ialah min mudah bagi indeks-indeks itu.
Untuk mencari pemberat atau indeks yang hilang, samakan indeks gubahan yang diketahui dengan pecahan dan selesaikan, darab keluar penyebut sebelum mengumpul sebutan.
Semak indeks gubahan dengan memastikan ia terletak antara indeks melampau, dan semak pemberat yang diselesaikan balik dengan menggantikannya ke dalam rumus penuh.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, menulis $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ dengan penggantian yang jelas memperoleh markah kaedah walaupun sebelum nilai akhir.

Bagaimana guru membantu

Indeks gubahan menjatuhkan pelajar di dua tempat yang boleh dijangka: membahagi dengan bilangan barang dan bukan jumlah pemberat, dan kehilangan satu sebutan semasa mendarab keluar untuk mencari pemberat yang hilang. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami menangkap baris tepat tempat kesilapan itu muncul dan menunjukkan susun atur kemas yang mencegahnya.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan mengapa penyebut ialah jumlah pemberat, bukan bilangan. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah perbezaan antara nombor indeks dan indeks gubahan?

Nombor indeks membandingkan harga satu barang dengan harga tahun asasnya. Indeks gubahan menggabungkan beberapa indeks sedemikian menjadi satu nombor menggunakan pemberat: $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ .

Adakah saya bahagi dengan bilangan barang atau jumlah pemberat?

Dengan jumlah pemberat, $\sum w$ . Membahagi dengan bilangan barang hanya berkesan apabila setiap pemberat sama, iaitu kes khas tanpa pemberat.

Apa sebenarnya yang diwakili oleh pemberat?

Ia mencerminkan betapa pentingnya sesuatu barang dalam bakul, berapa banyak perbelanjaan yang diwakilinya. Pemberat lebih besar menarik indeks gubahan lebih hampir kepada indeks barang itu sendiri.

Bagaimana saya mencari pemberat yang hilang daripada indeks gubahan yang diberi?

Samakan indeks gubahan dengan $\frac{\sum I w}{\sum w}$ , darab kedua-dua belah dengan penyebut, kemudian kumpulkan sebutan yang tidak diketahui dan selesaikan. Sentiasa gantikan semula jawapan untuk mengesahkan indeks gubahan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Nombor Indeks, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?