指数例题（KBAT）| SPM Add Math

Q: 基年不同的指数怎么合并？

锚定到同一个价格。若 2020 年以 2015 年为基年的指数是 120120120，2025 年以 2020 年为基年的指数是 115115115，那么 I2025/2015=115×120100=138I_{2025/2015}=\frac{115\times 120}{100}=138I2025/2015=100115×120=138。捷径就是把指数相乘再除以 100100100。

Q: 综合指数与总开支有什么关系？

综合指数 125125125 表示整个购物篮的花费是基年花费的 125%125\%125%，上涨 25%25\%25%。所以后期开支是 E1=Iˉ100×E0E_1=\frac{\bar{I}}{100}\times E_0E1=100Iˉ×E0，与单个价格用同样的缩放。

Q: 检验困难的指数题答案，最好的办法是什么？

用不同的路径。通过分步价格重新算一次链式指数，或把最简整数权重代回 ∑Iw∑w\frac{\sum I w}{\sum w}∑w∑Iw。两种独立方法得到一致的结果，就是最有力的检验。

这些例题涵盖什么

这组困难的指数例题在每道题里把两个想法放到一起，就像较长的 SPM 分题那样。你会跨基年换算价格指数、把综合指数公式 $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ 倒着读来反推权重比，并把缺失的指数与家庭开支结合起来。

数字仍然小而干净，让难点落在推理上，而不是算术上。把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后才逐行对照。

当你的路径和我们的不同时，在指数题里往往没关系，但要确认两条路径得到同一个值，因为一条独立的第二条方法，在分析式评分下是最有力的检验。

例题解析

三题全部做完。每一题都要你同时握住两个想法，所以动笔前先规划步骤，并且为了方法分把每一次代入都写清楚。

Q1[5 marks]

某商品在 2020 年以 2015 年为基年的价格指数是 $120$ 。2025 年以 2020 年为基年的价格指数是 $115$ 。

(a) 求 2025 年以 2015 年为基年的价格指数。(b) 若 2015 年的价格是 RM250，求 2025 年的价格。

Show worked solution

(a) 这两个指数用的是不同的基年，所以把一切锚定到同一个价格。设 2015 年价格为 $P$ 。

由于 2020 年以 2015 年为基年的指数是 $120$ ，2020 年价格为：

P_{2020}=\frac{120}{100}\times P=1.2P

2025 年以 2020 年为基年的指数是 $115$ ，所以 2025 年价格是 2020 年价格的 $1.15$ 倍：

P_{2025}=\frac{115}{100}\times 1.2P=1.38P

现在 2025 年以 2015 年为基年的指数，是把 $P_{2025}$ 与 2015 年价格 $P$ 作比较：

I_{2025/2015}=\frac{1.38P}{P}\times 100=138

(b) 用这个合成指数把 2015 年价格直接缩放到 2025 年：

P_{2025}=\frac{138}{100}\times 250=345

答案

2025 年以 2015 年为基年的指数是 $138$ ，2025 年价格是 RM345。这与链式捷径一致： $I_{2025/2015}=\frac{I_{2025/2020}\times I_{2020/2015}}{100}=\frac{115\times 120}{100}=138$ 。

分步检验 (b)：2020 年价格是 $1.2\times 250=300$ ，而 $1.15\times 300=345$ 。

Q2[5 marks]

一个购物篮里有两种商品 A、B。它们在 2024 年以 2021 年为基年的价格指数是 $140$ 和 $110$ ，权重为 $m$ 和 $n$ 。

综合指数是 $122$ 。求比值 $m:n$ 。

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从综合指数公式出发，代入两个指数，把权重保留为未知量：

\bar{I}=\frac{140m+110n}{m+n}=122

两边都乘以 $m+n$ 去掉分数：

140m+110n=122(m+n)=122m+122n

把含 $m$ 的项归到一边，把含 $n$ 的项归到另一边：

140m-122m=122n-110n \;\Rightarrow\; 18m=12n

两边同除以公因数 $6$ ，写成比值：

3m=2n \;\Rightarrow\; \frac{m}{n}=\frac{2}{3}

答案

比值是 $m:n=2:3$ 。用最简整数 $m=2,\,n=3$ 检验： $\frac{140(2)+110(3)}{2+3}=\frac{280+330}{5}=\frac{610}{5}=122$ ，正是所给的综合指数。

Q3[5 marks]

某家庭的开支分为三个类别 P、Q、R，权重比为 $3:2:1$ 。2024 年以 2020 年为基年的价格指数：P 为 $135$ ，Q 为 $120$ ，R 为未知。

综合指数是 $125$ 。(a) 求类别 R 的价格指数。

(b) 该家庭在 2020 年为这个购物篮花了 RM600；估计 2024 年同一购物篮所需的金额，并说明上涨的百分比。

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(a) 权重比 $3:2:1$ 可以直接当作 $3$ 、 $2$ 、 $1$ 使用，所以总权重是 $3+2+1=6$ 。代入综合指数公式，其中 $I_R$ 未知：

125=\frac{135(3)+120(2)+I_R(1)}{6}

算出已知的乘积 $135(3)=405$ 与 $120(2)=240$ ，再把两边乘以 $6$ ：

125\times 6=405+240+I_R \;\Rightarrow\; 750=645+I_R

I_R=750-645=105

(b) 同一购物篮的开支按综合指数缩放，所以 2024 年的金额是 2020 年金额的 $\frac{125}{100}$ ：

E_{2024}=\frac{125}{100}\times 600=750

答案

类别 R 的指数是 $105$ ，2024 年金额是 RM750，上涨百分比是 $\frac{750-600}{600}\times 100=25\%$ 。检验 (a)： $\frac{405+240+105}{6}=\frac{750}{6}=125$ ；而综合指数 $125$ 就是上涨 $25\%$ ，与 (b) 一致。

Q4[4 marks]

某袋大米在 2024 年以 2019 年为基年的价格指数是 $125$ 。(a) 求该大米在 2019 年以 2024 年为基年的价格指数。

(b) 该大米在 2024 年的价格是每袋 RM7.50。求 2019 年的价格，并直接用这两个价格来验证 (a) 的答案。

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(a) 设 2019 年价格为 $P$ 。由于 2024 年以 2019 年为基年的指数是 $125$ ，2024 年价格为：

P_{2024}=\frac{125}{100}\times P=1.25P

2019 年以 2024 年为基年的指数，是把较早的价格 $P$ 与较后的价格 $1.25P$ 相比，所以两个年份要交换谁在上面：

I_{2019/2024}=\frac{P}{1.25P}\times 100=80

(b) 把这个反向指数用在 2024 年价格上，求出 2019 年价格：

P_{2019}=\frac{80}{100}\times 7.50=6.00

答案

以 2024 年为基年的 2019 年指数是 $80$ ，2019 年价格是 RM6.00。直接检验： $\frac{6.00}{7.50}\times100=80$ ；再反过来算， $\frac{7.50}{6.00}\times100=125$ ，正是题目给出的指数，两条路径互相吻合。

Q5[5 marks]

某食堂 2020 年每周购物篮包含 $20$ 千克大米，单价 RM $2.00$ /千克，以及 $12$ 升食用油，单价 RM $5.00$ /升。2024 年以 2020 年为基年的价格指数：大米为 $110$ ，食用油为 $130$ 。

(a) 求这个购物篮以 2020 年为基年的综合价格指数。(b) 估计同一购物篮在 2024 年的总花费，并说明花费上涨的百分比。

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(a) 综合指数公式里每样商品的权重，是它自己在基年的开支，而不只是购买的数量。先求出 2020 年各自的开支：

w_{大米}=20\times 2.00=40 \qquad w_{食用油}=12\times 5.00=60

把这些权重和两个价格指数代入综合指数公式：

\bar{I}=\frac{110(40)+130(60)}{40+60}=\frac{4400+7800}{100}=122

(b) 购物篮在 2020 年的总花费，是两笔开支之和 RM $40+60=100$ 。用综合指数缩放这个金额来估计 2024 年的花费：

E_{2024}=\frac{122}{100}\times 100=122

答案

综合指数是 $122$ ，购物篮在 2024 年大约花费 RM122，上涨百分比是 $22\%$ 。检验： $\frac{122-100}{100}\times100=22\%$ ，与综合指数直接吻合。

Q6[6 marks]

一个家庭的「出行成本」综合指数，把汽油（P）和公共交通（Q）组合起来，按它们在 2019 年的开支占比权重分别为 $3$ 和 $7$ 。2023 年以 2019 年为基年，汽油的价格指数已知为 $150$ 。

为了让家庭预算维持不超支，综合指数不可以超过 $122$ 。求今年 Q 可能的最大价格指数，并把它说成最大的上涨百分比。

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把预算上限当成不等式代入综合指数公式，代入已知的权重和汽油指数，设 $I_Q$ 为未知的交通指数：

\frac{150(3)+I_Q(7)}{3+7}\leq 122

两边乘以 $10$ ，并化简已知项：

450+7I_Q\leq 1220

把 $I_Q$ 单独解出：

7I_Q\leq 770 \;\Rightarrow\; I_Q\leq 110

答案

公共交通的价格指数不可以超过 $110$ ，也就是最多上涨 $10\%$ 。在边界处检验： $\frac{150(3)+110(7)}{10}=\frac{450+770}{10}=\frac{1220}{10}=122$ ，正好等于上限，确认 $I_Q=110$ 是允许的最大值。

Q7[5 marks]

某档口的两种主要材料，鸡肉和洋葱，按它们在 2021 年的开支占比权重分别为 $5$ 和 $3$ 。从 2021 年到 2024 年，鸡肉价格上涨了 $16\%$ ，而洋葱价格下跌了 $8\%$ 。

(a) 写出每种材料以 2021 年为基年、2024 年的价格指数。(b) 求这两种材料的综合价格指数。

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(a) 把每个百分比变化直接换算成指数：上涨就加到 $100$ 上，下跌就从 $100$ 减去。

I_{鸡肉}=100+16=116 \qquad I_{洋葱}=100-8=92

(b) 把两个指数和各自的权重代入综合指数公式：

\bar{I}=\frac{116(5)+92(3)}{5+3}=\frac{580+276}{8}=107

答案

综合指数是 $107$ ，所以尽管洋葱变便宜了，档口的材料总成本整体还是上涨了 $7\%$ ，鸡肉的权重更大（ $5$ 对 $3$ ），它的涨幅在平均后仍然盖过了洋葱的跌幅。用第二条路径检验：把每个与 $100$ 的偏差直接加权， $5(+16)+3(-8)=80-24=56$ ，再除以总权重， $\frac{56}{8}=7$ ，得到相同的 $7\%$ 净上涨。

Q8[6 marks]

两种商品 C 和 D，按 2020 年的开支权重分别为 $8$ 和 $12$ 。2023 年以 2020 年为基年的综合价格指数是 $116$ 。

D 的价格指数比 C 的价格指数多 $10$ ，即 $I_D=I_C+10$ 。求每种商品的价格指数。

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把权重、综合指数的值，以及关系式 $I_D=I_C+10$ 代入综合指数公式，让 $I_C$ 成为唯一的未知量：

\frac{I_C(8)+(I_C+10)(12)}{20}=116

两边乘以 $20$ 并展开：

8I_C+12I_C+120=2320 \;\Rightarrow\; 20I_C=2200

解出 $I_C$ ，再求 $I_D$ ：

I_C=110 \;\Rightarrow\; I_D=110+10=120

答案

C 的价格指数是 $110$ ，D 的是 $120$ 。把两者代回综合指数公式检验： $\frac{110(8)+120(12)}{20}=\frac{880+1440}{20}=\frac{2320}{20}=116$ ，与所给的综合指数一致。

这三题展示了指数题里「困难」的真正含义：不是更重的算术，而是一道题里有两个相连的想法。把一串指数锚定到同一个价格、按未知量所在的方向去读综合指数公式，并记住综合指数同时也是总开支的百分比变化。

关键方法要点

这些较难的例题奖励清晰的规划和第二次检验。处理较长的分题时，记住以下几点。

跨基年换算时，设最早的价格为 $P$ 并逐步相乘： $I_{C/A}=\frac{I_{C/B}\times I_{B/A}}{100}$ 。
倒着解综合指数：先去掉分母 $\bar{I}(\sum w)=\sum I w$ ，再归并未知量。
权重比来自 $\frac{\sum I w}{\sum w}=\bar{I}$ ：归并同类项并化成最简形式。
综合指数也是一个百分比：指数 $125$ 表示同一购物篮的总开支上涨 $25\%$ 。
用 $E_1=\frac{\bar{I}}{100}\times E_0$ 估计后期开支，缩放方式与单个价格相同。
务必用第二条路径确认，分步价格，或代入最简整数权重，因为分析式评分奖励一个稳妥的答案。

老师如何帮忙

在较难的分题里，学生通常每个公式都会，却卡在两个想法如何相连上，是该把指数相乘换算，还是取平均，或者综合指数怎样变成开支的上涨百分比。在一对一的课堂上，我们的老师会帮你在动笔前规划步骤，让这层联系从第一行起就清清楚楚。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会示范第二条路径检验、使困难答案变得稳妥的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

基年不同的指数怎么合并？

锚定到同一个价格。若 2020 年以 2015 年为基年的指数是 $120$ ，2025 年以 2020 年为基年的指数是 $115$ ，那么 $I_{2025/2015}=\frac{115\times 120}{100}=138$ 。

捷径就是把指数相乘再除以 $100$ 。

为什么可以把比值 3:2:1 直接当作权重 3、2、1？

因为综合指数本身就是一个比值，把每个权重乘以同一个因数会在分子分母里约掉。用比值里的最简整数，得到的综合指数与任何等价的一组权重相同。

综合指数与总开支有什么关系？

综合指数 $125$ 表示整个购物篮的花费是基年花费的 $125\%$ ，上涨 $25\%$ 。所以后期开支是 $E_1=\frac{\bar{I}}{100}\times E_0$ ，与单个价格用同样的缩放。

检验困难的指数题答案，最好的办法是什么？

用不同的路径。通过分步价格重新算一次链式指数，或把最简整数权重代回 $\frac{\sum I w}{\sum w}$ 。

两种独立方法得到一致的结果，就是最有力的检验。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

指数（Index Number），例题（KBAT）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

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