Nombor Indeks Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana indeks gubahan berkait dengan jumlah perbelanjaan?

Indeks gubahan 125125125 bermaksud keseluruhan bakul berharga 125%125\%125% daripada kos tahun asasnya, kenaikan 25%25\%25%. Jadi perbelanjaan terkemudian ialah E1=Iˉ100×E0E_1=\frac{\bar{I}}{100}\times E_0E1=100Iˉ×E0, penskalaan yang sama seperti harga tunggal.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Nombor Indeks sukar ini menyatukan dua idea dalam setiap soalan, seperti bahagian SPM yang lebih panjang. Anda akan memaut indeks harga merentas pertukaran tahun asas, membaca rumus gubahan $\bar{I}=\frac{\sum I w}{\sum w}$ ke belakang untuk mendapatkan semula nisbah pemberat, dan menggabungkan indeks hilang dengan perbelanjaan isi rumah.

Nombornya kekal kecil dan kemas supaya kesukaran terletak pada penaakulan, bukan aritmetik. Tutup penyelesaian, cuba setiap soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris.

Apabila laluan anda berbeza daripada kami, itu selalunya tidak mengapa dalam Nombor Indeks, tetapi sahkan kedua-dua laluan mencapai nilai yang sama, kerana kaedah kedua yang bebas ialah semakan paling kuat di bawah pemarkahan analitik.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu meminta anda memegang dua idea serentak, jadi rancang langkah sebelum mula menulis, dan kekalkan setiap penggantian eksplisit untuk markah kaedah.

Q1[5 marks]

Indeks harga sesuatu barang bagi 2020 berasaskan 2015 ialah $120$ . Indeks harga bagi 2025 berasaskan 2020 ialah $115$ .

(a) Cari indeks harga bagi 2025 berasaskan 2015. (b) Jika harga pada 2015 ialah RM250, cari harga pada 2025.

Show worked solution

(a) Dua indeks itu menggunakan tahun asas berbeza, jadi sauhkan semuanya kepada satu harga. Biar harga 2015 ialah $P$ .

Oleh sebab indeks 2020 berasaskan 2015 ialah $120$ , harga 2020 ialah:

P_{2020}=\frac{120}{100}\times P=1.2P

Indeks 2025 berasaskan 2020 ialah $115$ , jadi harga 2025 ialah $1.15$ kali harga 2020:

P_{2025}=\frac{115}{100}\times 1.2P=1.38P

Kini indeks 2025 berasaskan 2015 membandingkan $P_{2025}$ dengan harga 2015, iaitu $P$ :

I_{2025/2015}=\frac{1.38P}{P}\times 100=138

(b) Gunakan indeks gabungan ini untuk menskala harga 2015 terus kepada 2025:

P_{2025}=\frac{138}{100}\times 250=345

Jawapan

Indeks 2025 berasaskan 2015 ialah $138$ , dan harga 2025 ialah RM345. Ini sepadan dengan pintasan pemautan $I_{2025/2015}=\frac{I_{2025/2020}\times I_{2020/2015}}{100}=\frac{115\times 120}{100}=138$ .

Semak bahagian (b) langkah demi langkah: harga 2020 ialah $1.2\times 250=300$ , dan $1.15\times 300=345$ .

Q2[5 marks]

Sebuah bakul mengandungi dua barang A dan B. Indeks harga mereka bagi 2024 berasaskan 2021 ialah $140$ dan $110$ , dengan pemberat $m$ dan $n$ .

Indeks gubahan ialah $122$ . Cari nisbah $m:n$ .

Show worked solution

Mulakan daripada rumus gubahan dan gantikan dua indeks, mengekalkan pemberat sebagai yang tidak diketahui:

\bar{I}=\frac{140m+110n}{m+n}=122

Darab kedua-dua belah dengan $m+n$ untuk hapuskan pecahan:

140m+110n=122(m+n)=122m+122n

Kumpulkan sebutan $m$ di sebelah dan sebutan $n$ di sebelah lagi:

140m-122m=122n-110n \;\Rightarrow\; 18m=12n

Bahagikan kedua-dua belah dengan faktor sepunya $6$ dan tulis sebagai nisbah:

3m=2n \;\Rightarrow\; \frac{m}{n}=\frac{2}{3}

Jawapan

Nisbahnya ialah $m:n=2:3$ . Semak dengan nombor bulat termudah $m=2,\,n=3$ : $\frac{140(2)+110(3)}{2+3}=\frac{280+330}{5}=\frac{610}{5}=122$ , iaitu indeks gubahan yang diberi.

Q3[5 marks]

Perbelanjaan sebuah isi rumah terbahagi kepada tiga kategori P, Q dan R dengan pemberat dalam nisbah $3:2:1$ . Indeks harga bagi 2024 berasaskan 2020 ialah $135$ bagi P, $120$ bagi Q dan satu nilai yang tidak diketahui bagi R.

Indeks gubahan ialah $125$ . (a) Cari indeks harga kategori R.

(b) Isi rumah itu berbelanja RM600 untuk bakul ini pada 2020; anggarkan jumlah yang diperlukan untuk bakul yang sama pada 2024, dan nyatakan peratus kenaikan.

Show worked solution

(a) Pemberat dalam nisbah $3:2:1$ boleh digunakan sebagai $3$ , $2$ dan $1$ , jadi jumlah pemberat ialah $3+2+1=6$ . Gantikan ke dalam rumus gubahan, dengan $I_R$ tidak diketahui:

125=\frac{135(3)+120(2)+I_R(1)}{6}

Kira hasil darab yang diketahui, $135(3)=405$ dan $120(2)=240$ , kemudian darab kedua-dua belah dengan $6$ :

125\times 6=405+240+I_R \;\Rightarrow\; 750=645+I_R

I_R=750-645=105

(b) Perbelanjaan bagi bakul yang sama menskala mengikut indeks gubahan, jadi jumlah 2024 ialah $\frac{125}{100}$ daripada jumlah 2020:

E_{2024}=\frac{125}{100}\times 600=750

Jawapan

Indeks kategori R ialah $105$ , jumlah 2024 ialah RM750, dan peratus kenaikan ialah $\frac{750-600}{600}\times 100=25\%$ . Semak bahagian (a): $\frac{405+240+105}{6}=\frac{750}{6}=125$ ; dan indeks gubahan $125$ ialah kenaikan $25\%$ , sepadan dengan bahagian (b).

Q4[4 marks]

Indeks harga sekampit beras pada 2024 berasaskan 2019 ialah $125$ . (a) Cari indeks harga beras itu pada 2019 berasaskan 2024.

(b) Harga beras itu pada 2024 ialah RM7.50 sekampit. Cari harga pada 2019, dan sahkan jawapan (a) anda terus daripada dua harga tersebut.

Show worked solution

(a) Biar harga 2019 ialah $P$ . Oleh sebab indeks 2024 berasaskan 2019 ialah $125$ , harga 2024 ialah:

P_{2024}=\frac{125}{100}\times P=1.25P

Indeks 2019 berasaskan 2024 membandingkan harga terdahulu $P$ dengan harga terkemudian $1.25P$ , jadi kedua-dua tahun bertukar tempat mana yang di atas:

I_{2019/2024}=\frac{P}{1.25P}\times 100=80

(b) Gunakan indeks terbalik ini pada harga 2024 untuk mendapatkan harga 2019:

P_{2019}=\frac{80}{100}\times 7.50=6.00

Jawapan

Indeks 2019-berasaskan-2024 ialah $80$ , dan harga 2019 ialah RM6.00. Semak terus: $\frac{6.00}{7.50}\times100=80$ , dan membalik semula, $\frac{7.50}{6.00}\times100=125$ , iaitu indeks yang diberi dalam soalan, kedua-dua laluan sepadan.

Q5[5 marks]

Bakul mingguan sebuah kantin pada 2020 mengandungi $20$ kg beras berharga RM $2.00$ sekilogram dan $12$ liter minyak masak berharga RM $5.00$ seliter. Indeks harga bagi 2024 berasaskan 2020 ialah $110$ untuk beras dan $130$ untuk minyak masak.

(a) Cari indeks harga gubahan bagi bakul ini berasaskan 2020. (b) Anggarkan jumlah kos bakul yang sama pada 2024, dan nyatakan peratus kenaikan kos.

Show worked solution

(a) Pemberat setiap barang dalam rumus gubahan ialah perbelanjaan tahun asasnya sendiri, bukan sekadar kuantiti yang dibeli. Cari setiap perbelanjaan pada 2020:

w_{beras}=20\times 2.00=40 \qquad w_{minyak}=12\times 5.00=60

Gantikan pemberat ini dan kedua-dua indeks harga ke dalam rumus gubahan:

\bar{I}=\frac{110(40)+130(60)}{40+60}=\frac{4400+7800}{100}=122

(b) Jumlah kos bakul pada 2020 ialah hasil tambah dua perbelanjaan itu, RM $40+60=100$ . Skalakan ini dengan indeks gubahan untuk menganggarkan kos 2024:

E_{2024}=\frac{122}{100}\times 100=122

Jawapan

Indeks gubahan ialah $122$ , bakul itu berharga kira-kira RM122 pada 2024, dan peratus kenaikan ialah $22\%$ . Semak: $\frac{122-100}{100}\times100=22\%$ , sepadan terus dengan indeks gubahan.

Q6[6 marks]

Indeks gubahan "kos perjalanan" sebuah keluarga menggabungkan petrol (P) dan pengangkutan awam (Q), berpemberat $3$ dan $7$ berdasarkan bahagian perbelanjaan mereka pada 2019. Pada 2023 berasaskan 2019, indeks harga petrol sudah diketahui $150$ .

Supaya belanjawan keluarga itu mencukupi, indeks gubahan mestilah tidak melebihi $122$ . Cari indeks harga maksimum yang mungkin bagi Q pada tahun ini, dan nyatakan ini sebagai peratus kenaikan maksimum.

Show worked solution

Bina rumus gubahan dengan had belanjawan itu sebagai ketaksamaan, gantikan pemberat dan indeks petrol yang diketahui, dan biar $I_Q$ ialah indeks pengangkutan yang tidak diketahui:

\frac{150(3)+I_Q(7)}{3+7}\leq 122

Darab kedua-dua belah dengan $10$ dan permudahkan sebutan yang diketahui:

450+7I_Q\leq 1220

Asingkan $I_Q$ :

7I_Q\leq 770 \;\Rightarrow\; I_Q\leq 110

Jawapan

Indeks harga pengangkutan awam mestilah tidak melebihi $110$ , iaitu kenaikan maksimum $10\%$ . Semak pada sempadan: $\frac{150(3)+110(7)}{10}=\frac{450+770}{10}=\frac{1220}{10}=122$ , tepat pada had, mengesahkan $I_Q=110$ ialah nilai terbesar yang dibenarkan.

Q7[5 marks]

Dua bahan utama sebuah gerai, ayam dan bawang, berpemberat $5$ dan $3$ berdasarkan bahagian perbelanjaan mereka pada 2021. Dari 2021 hingga 2024, harga ayam naik $16\%$ manakala harga bawang turun $8\%$ .

(a) Tuliskan indeks harga 2024-berasaskan-2021 bagi setiap bahan. (b) Cari indeks harga gubahan bagi pasangan ini.

Show worked solution

(a) Tukar setiap perubahan peratus terus kepada indeks: kenaikan ditambah kepada $100$ , penurunan ditolak daripadanya.

I_{ayam}=100+16=116 \qquad I_{bawang}=100-8=92

(b) Gantikan kedua-dua indeks dan pemberatnya ke dalam rumus gubahan:

\bar{I}=\frac{116(5)+92(3)}{5+3}=\frac{580+276}{8}=107

Jawapan

Indeks gubahan ialah $107$ , jadi jumlah kos bahan gerai itu naik secara keseluruhan sebanyak $7\%$ , walaupun harga bawang menurun, ayam membawa pemberat lebih berat ( $5$ berbanding $3$ ), jadi kenaikannya mengatasi turunnya dalam purata. Semak dengan laluan kedua: pemberatkan setiap sisihan daripada $100$ terus, $5(+16)+3(-8)=80-24=56$ , kemudian bahagi dengan jumlah pemberat, $\frac{56}{8}=7$ , kenaikan bersih yang sama $7\%$ .

Q8[6 marks]

Dua barang C dan D berpemberat $8$ dan $12$ berdasarkan perbelanjaan 2020. Indeks harga gubahan bagi 2023 berasaskan 2020 ialah $116$ .

Indeks harga D melebihi indeks harga C sebanyak $10$ , iaitu $I_D=I_C+10$ . Cari indeks harga setiap barang.

Show worked solution

Gantikan pemberat, nilai gubahan, dan hubungan $I_D=I_C+10$ ke dalam rumus gubahan, meninggalkan $I_C$ sebagai satu-satunya yang tidak diketahui:

\frac{I_C(8)+(I_C+10)(12)}{20}=116

Darab kedua-dua belah dengan $20$ dan kembangkan:

8I_C+12I_C+120=2320 \;\Rightarrow\; 20I_C=2200

Selesaikan untuk $I_C$ , kemudian cari $I_D$ :

I_C=110 \;\Rightarrow\; I_D=110+10=120

Jawapan

Indeks harga C ialah $110$ dan D ialah $120$ . Semak dengan menggantikan semula kedua-duanya ke dalam rumus gubahan: $\frac{110(8)+120(12)}{20}=\frac{880+1440}{20}=\frac{2320}{20}=116$ , sepadan dengan indeks gubahan yang diberi.

Ketiga-tiga ini menunjukkan maksud sebenar "sukar" dalam Nombor Indeks: bukan aritmetik yang lebih berat, tetapi dua idea berkait dalam satu soalan. Sauhkan rantaian indeks kepada satu harga, baca rumus gubahan ke arah mana pun yang diletakkan oleh yang tidak diketahui, dan ingat bahawa indeks gubahan turut berperanan sebagai perubahan peratus dalam jumlah perbelanjaan.

Poin kaedah utama

Contoh yang lebih sukar ini memberi ganjaran kepada perancangan yang jelas dan semakan kedua. Ingat yang berikut semasa anda menangani bahagian yang lebih panjang.

Untuk memaut pertukaran tahun asas, biar harga terawal ialah $P$ dan darab menerusinya: $I_{C/A}=\frac{I_{C/B}\times I_{B/A}}{100}$ .
Selesaikan indeks gubahan ke belakang dengan menghapus penyebut dahulu: $\bar{I}(\sum w)=\sum I w$ , kemudian kumpulkan yang tidak diketahui.
Nisbah pemberat keluar daripada $\frac{\sum I w}{\sum w}=\bar{I}$ dengan mengumpul sebutan sejenis dan memudahkan kepada bentuk terendah.
Indeks gubahan juga ialah peratus: indeks $125$ bermaksud jumlah perbelanjaan bagi bakul yang sama naik $25\%$ .
Anggarkan perbelanjaan terkemudian dengan $E_1=\frac{\bar{I}}{100}\times E_0$ , penskalaan yang sama seperti harga tunggal.
Sentiasa sahkan dengan laluan kedua, harga langkah demi langkah, atau menggantikan pemberat nombor bulat termudah, kerana pemarkahan analitik memberi ganjaran kepada jawapan yang terjamin.

Bagaimana guru membantu

Dalam bahagian yang lebih sukar, pelajar biasanya tahu setiap rumus tetapi tergendala pada cara dua idea itu berhubung, sama ada hendak memaut indeks atau meminkannya, atau bagaimana indeks gubahan menjadi kenaikan peratus dalam perbelanjaan. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membantu anda merancang langkah sebelum menulis, supaya hubungan itu jelas dari baris pertama.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang mencontohkan semakan laluan kedua yang menjadikan jawapan sukar terjamin. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menggabungkan indeks yang menggunakan tahun asas berbeza?

Sauhkan kepada satu harga. Jika indeks 2020 berasaskan 2015 ialah $120$ dan indeks 2025 berasaskan 2020 ialah $115$ , maka $I_{2025/2015}=\frac{115\times 120}{100}=138$ .

Pintasannya ialah mendarab indeks dan membahagi dengan $100$ .

Mengapa saya boleh guna nisbah 3:2:1 terus sebagai pemberat 3, 2 dan 1?

Kerana indeks gubahan itu sendiri ialah nisbah, menskala setiap pemberat dengan faktor sama akan membatalkan atas dan bawah. Menggunakan nombor bulat termudah dalam nisbah memberi indeks gubahan yang sama seperti mana-mana set pemberat setara.

Bagaimana indeks gubahan berkait dengan jumlah perbelanjaan?

Indeks gubahan $125$ bermaksud keseluruhan bakul berharga $125\%$ daripada kos tahun asasnya, kenaikan $25\%$ . Jadi perbelanjaan terkemudian ialah $E_1=\frac{\bar{I}}{100}\times E_0$ , penskalaan yang sama seperti harga tunggal.

Apakah cara terbaik menyemak jawapan Nombor Indeks yang sukar?

Guna laluan berbeza. Kira semula indeks berpaut menerusi harga langkah demi langkah, atau gantikan pemberat nombor bulat termudah ke dalam $\frac{\sum I w}{\sum w}$ .

Dua kaedah bebas yang sepadan ialah semakan paling kuat.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Nombor Indeks, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?