如何求旋转体体积

当一个平面区域绕一条直线旋转整整一圈时，它会扫出一个三维立体，旋转体。求这个立体的体积，是中五积分这一章里常见的应用。

如果区域位于曲线 $y=f(x)$ 之下并绕 x 轴旋转，每一条宽为 $dx$ 的细长条就变成一个半径为 $y$ 的薄圆盘，把所有圆盘加起来就得到体积。这个方法把面积的计算转化为体积的计算；在 Add Math 中，只要题目问'某个阴影区域绕某轴旋转 $360^{\circ}$（一整圈）所生成立体的体积'，就要用到它。

当题目给出一个由曲线和坐标轴所围成的区域，并让它旋转时，就该用旋转体体积，留意「该区域绕 x 轴旋转 $360^{\circ}$」或「阴影区域绕 y 轴旋转所生成的立体」这类说法；「体积」加上「旋转」是最明显的信号。若绕 x 轴旋转，就对 $x$ 积分，需要把 $y$ 写成 $x$ 的式子；若绕 y 轴旋转，就对 $y$ 积分，需要把 $x$ 写成 $y$ 的式子。

先把旋转轴和积分变量对应好，是第一步要做的判断。

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   确定旋转轴

   旋转轴决定用哪条公式、对哪个变量积分。

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   整理曲线

   绕 x 轴时把 $y$ 写成 $x$ 的式子；绕 y 轴时把 $x$ 写成 $y$ 的式子。

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   读出上下限

   找出沿旋转轴方向围住区域的下限与上限 $a$ 和 $b$。

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   把式子平方

   求出 $y^{2}$（或 $x^{2}$），积分前把括号完整展开。

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   写出并积分

   写出 $\pi\int_{a}^{b}$，对平方后的式子逐项积分。

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   代入上下限

   先代入上限，再代入下限，然后相减。

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   乘以 pi

   写出体积，答案用立方单位或用 $\pi$ 表示。

• 忘了把曲线平方，对 $y$ 而不是 $y^{2}$ 积分，那样求出的是面积，不是体积。
• 逐项平方，例如把 $(2x+1)^{2}$ 写成 $4x^{2}+1$，丢掉了中间项 $4x$。
• 最后的答案漏掉了 $\pi$。
• 对错误的变量积分，绕 y 轴旋转却仍用 $dx$。
• 用错上下限：上下限必须是沿旋转轴方向围住区域的那些 $x$ 值（或 $y$ 值）。

学生最常出错的一步就是把曲线平方：要么对 $y$ 而不是 $y^{2}$ 积分，要么把括号逐项平方而丢掉中间项。在一对一课堂上，我们的老师会在你写下那一行时盯着看，让'把 $(2x+1)^{2}$ 完整展开'成为自然的习惯，也让 $\pi$ 永远不会漏掉。

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