Isi Padu Janaan: Kaedah

Kegunaan isi padu janaan

Apabila suatu rantau rata dikisarkan satu putaran penuh pada suatu garis lurus, ia menjana bongkah tiga dimensi, sebuah bongkah janaan. Mencari isi padu bongkah itu ialah aplikasi pengamiran yang lazim dalam bab Pengamiran Tingkatan 5 Add Math.

Jika rantau itu terletak di bawah lengkung $y=f(x)$ dan dikisarkan pada paksi-x, setiap jalur nipis berlebar $dx$ menjadi cakera nipis berjejari $y$ , dan menambah semua cakera memberikan isi padu. Kaedah ini menukar pengiraan luas kepada pengiraan isi padu, dan ia muncul apabila soalan meminta isi padu yang dijana apabila suatu rantau berlorek dikisarkan $360^{\circ}$ (satu putaran penuh) pada suatu paksi.

Bila menggunakannya

Gunakan isi padu janaan apabila soalan menunjukkan rantau yang dibatasi oleh lengkung dan paksi, kemudian mengisarkannya, cari frasa seperti 'rantau itu dikisarkan $360^{\circ}$ pada paksi-x' atau 'bongkah yang dijana apabila rantau berlorek dikisarkan pada paksi-y'. Perkataan 'isi padu' bersama 'dikisarkan' atau 'diputarkan' ialah isyarat paling jelas.

Jika kisaran pada paksi-x, anda mengamir terhadap $x$ dan memerlukan $y$ dalam sebutan $x$ ; jika pada paksi-y, anda mengamir terhadap $y$ dan memerlukan $x$ dalam sebutan $y$ . Memadankan paksi kisaran dengan pemboleh ubah pengamiran ialah keputusan pertama yang perlu dibuat.

Kaedah langkah demi langkah

Kisaran pada paksi-x

V=\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dx

Kisaran pada paksi-y

V=\pi\int_{a}^{b} x^{2}\,dy

1
Kenal pasti paksi kisaran
Paksi ini menentukan rumus yang digunakan dan pemboleh ubah pengamiran.
2
Susun semula lengkung
Dapatkan $y$ dalam sebutan $x$ untuk paksi-x, atau $x$ dalam sebutan $y$ untuk paksi-y.
3
Baca had
Cari had bawah dan had atas $a$ dan $b$ yang membatasi rantau di sepanjang paksi kisaran.
4
Kuasa duakan ungkapan
Bentukkan $y^{2}$ (atau $x^{2}$ ), kembangkan sebarang kurungan sepenuhnya sebelum mengamir.
5
Sediakan dan kamir
Tulis $\pi\int_{a}^{b}$ dan kamirkan ungkapan yang telah dikuasa duakan sebutan demi sebutan.
6
Gantikan had
Masukkan had atas, kemudian had bawah, dan tolak.
7
Darab dengan pi
Nyatakan isi padu dalam unit padu atau dalam sebutan $\pi$ .

Contoh kerja

Q1[4 marks]

Rantau dibatasi oleh garis $y=2x+1$ , paksi-x, serta garis $x=0$ dan $x=1$ . Cari isi padu bongkah yang dijana apabila rantau ini dikisarkan $360^{\circ}$ pada paksi-x.

Berikan jawapan dalam sebutan $\pi$ .

Show worked solution

Kisaran pada paksi-x, jadi guna $V=\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dx$ dengan $a=0$ dan $b=1$ .

Di sini $y=2x+1$ , maka kuasa duakan: $y^{2}=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$ . Kembangkan kurungan sepenuhnya, jangan kuasa duakan sebutan demi sebutan.

Sediakan kamiran:

V=\pi\int_{0}^{1}\left(4x^{2}+4x+1\right)dx

Kamirkan sebutan demi sebutan:

V=\pi\left[\frac{4x^{3}}{3}+2x^{2}+x\right]_{0}^{1}

Gantikan had atas $x=1$ : $\frac{4}{3}+2+1=\frac{4}{3}+3=\frac{13}{3}$ . Had bawah $x=0$ memberikan $0$ .

Maka $V=\pi\times\frac{13}{3}=\frac{13\pi}{3}$ unit padu.

Kesilapan lazim

Terlupa mengkuasaduakan lengkung, mengamir $y$ dan bukan $y^{2}$ , yang memberi luas, bukan isi padu.
Mengkuasa duakan kurungan sebutan demi sebutan, contohnya menulis $(2x+1)^{2}=4x^{2}+1$ dan menggugurkan sebutan tengah $4x$ .
Meninggalkan $\pi$ dalam jawapan akhir.
Mengamir terhadap pemboleh ubah yang salah, menggunakan $dx$ sedangkan kisaran pada paksi-y.
Menggunakan had yang salah: had mestilah nilai $x$ (atau nilai $y$ ) yang membatasi rantau di sepanjang paksi kisaran.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Langkah yang paling kerap tersilap ialah mengkuasa duakan lengkung: pelajar sama ada mengamir $y$ dan bukan $y^{2}$ , atau mengkuasa duakan kurungan sebutan demi sebutan lalu kehilangan sebutan tengah. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris itu ketika anda menulisnya, supaya tabiat mengembangkan $(2x+1)^{2}$ sepenuhnya menjadi automatik dan $\pi$ tidak pernah tertinggal.

Kerana kerja anda ditunjukkan langkah demi langkah, setiap markah kaedah kekal jelas dan mudah disemak. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk melihat cara kami mengajar isi padu janaan, hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Rumus manakah yang digunakan untuk isi padu janaan?

Pada paksi-x, guna $V=\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dx$ ; pada paksi-y, guna $V=\pi\int_{a}^{b} x^{2}\,dy$ . Pilih yang sepadan dengan paksi kisaran, dan pastikan lengkung ditulis dalam sebutan pemboleh ubah yang betul sebelum dikuasa duakan.

Perlukah saya menghafal rumus isi padu janaan?

Ya, ini rumus yang anda dijangka tahu dan tulis daripada ingatan. Berlatih memadankan pemboleh ubah pengamiran yang betul dengan paksi kisaran supaya persediaan menjadi automatik.

Mengapa ada

\pi

dalam rumus itu?

Setiap keratan nipis bongkah ialah cakera yang luasnya $\pi r^{2}$ , dengan jejari sama dengan $y$ (atau $x$ ). Mengamir $\pi y^{2}$ menambah semua cakera, jadi $\pi$ itu datang daripada luas bulatan dan mesti muncul dalam jawapan anda.

Bagaimana jika rantau dikisarkan pada paksi-y pula?

Maka kamirkan terhadap $y$ : susun semula lengkung untuk mendapat $x$ dalam sebutan $y$ , kuasa duakannya, dan guna $V=\pi\int_{a}^{b} x^{2}\,dy$ dengan had $y$ yang membatasi rantau.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Cara mencari isi padu janaan