在正弦定理与余弦定理间选择

这两条定理让你求出任意三角形中缺失的边和角，而不只是直角三角形。正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ 把每条边和它对角的正弦联系起来，所以当你能把一条已知边和它的对角配成一对时就能用。

余弦定理 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$ 把三条边和一个角联系起来，所以在正弦定理根本无法起步时就能用。两者合起来，能从标准的已知条件求解三角形：两角一边、两边及其夹角，或三边。

选对定理才是关键，之后的算术很短。它也是后面面积、方位角和三维问题的基础。

看三角形给了你什么。如果有两边及其之间的夹角（SAS），或三边（SSS），就从余弦定理开始，正弦定理没有完整的边角对可以起步。

如果反过来，你有一条边连同它的对角，两角加任一边（AAS/ASA），或两边加一个非夹角（SSA），就用正弦定理。

一个快速判断就能决定：你能否指出一条边和它正对的角，两者都已知？能，就可以用正弦定理；不能，就先用余弦定理求出多一个量，正弦定理通常就能接着处理其余部分。

让计算器保持角度模式，并记住：在两边和一个非夹角的情形下，正弦定理可能给出两个可能的答案，这就是两解情况。

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   给三角形标记

   把边 $a, b, c$ 标在角 $A, B, C$ 的对面；一条边和它的对角共用同一个字母。

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   列出已知

   写下给定的边和角，并清楚标出要求什么。

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   选定理

   SAS 或 SSS $\rightarrow$ 余弦定理；一条边配它的对角 $\rightarrow$ 正弦定理。

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   用你的字母写出定理

   用余弦定理求角用 $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$；求边用 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$。

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   代入并求解

   代入数字，让计算器保持角度模式，解出未知量。

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   检验合理性

   最大的角对着最长的边，且三个角之和为 $180^{\circ}$。

• 在 SAS 或 SSS 条件下硬用正弦定理，而这里没有完整的边角对可以起步，应先用余弦定理。
• 两解情况（SSA）：正弦定理求出一个角时，第二个钝角 $180^{\circ} - \theta$ 也可能符合，要检查它是否可行。
• 余弦定理里的符号错误，它是 $-\,2bc\cos A$；当 $A$ 是钝角时，$\cos A$ 为负，这一项就变成加。
• 把边和错误的角配对，边 $a$ 必须配角 $A$，即它的对角。
• 计算器停在弧度模式，导致 $\cos 60^{\circ}$ 或 $\sin 60^{\circ}$ 算错。

决定整道题的一步是选定理，而最经典的失误是把正弦定理硬套在两边及其夹角上，那里根本无法起步。在一对一的课堂上，我们的老师给你一个快速判断，“我能否指出一条边和它的对角，两者都已知？”

，并要你在选择前先写下答案：能就用正弦定理，不能就用余弦定理。我们反复操练余弦定理的符号 $-\,2bc\cos A$，并标出 SSA 的两解情况，让第二个钝角不会被悄悄漏掉。

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