如何用商法则求导

在 Add Math 中，许多式子是一个函数除以另一个函数，例如 $y=\frac{2x+1}{x-3}$、$y=\frac{x^{2}}{2x+1}$ 或 $y=\frac{3x}{x^{2}+1}$。当分子和分母都含 $x$ 时，商法则就是对这类分式求导的工具。

你不能简单地分别对分子和分母求导，把两个导数相除也是错的。商法则给出一条可靠的公式，兼顾两个部分，而且尤其管住了它们的组合次序。

它贯穿微分这一章，正是求斜率、切线、法线以及以分式写出的曲线驻点时所需要的。整齐、条理清楚的运用还能拿到全部方法分，这正是分析式评分方案所奖励的。

只要 $y$ 写成分式，而分子和分母都是 $x$ 的函数时就用商法则，例如 $\frac{x+2}{2x-1}$ 或 $\frac{x^{2}-1}{x+4}$。那条分数线就是信号。

先做一个检查：如果分母只是常数，就不需要这条法则，$\frac{2x+1}{5}$ 不过是 $\tfrac{1}{5}(2x+1)$。如果分式能拆成简单的幂，例如 $\frac{x^{2}+x}{x}=x+1$，就先化简再直接求导。

只有当分式确实无法化简时才用商法则。要把它和其他法则分清：商法则对应除法，乘积法则对应乘法，链式法则对应一个函数套在另一个里面。

1. 1

   给上下命名

   令 $u$ 为分子、$v$ 为分母，则 $y=\frac{u}{v}$。

2. 2

   分别对各部分求导

   分别求出 $\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$。

3. 3

   写出分子

   写成 $v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}$。次序很重要：分母乘分子的导数，减去分子乘分母的导数。

4. 4

   分母平方

   整体放在 $v^{2}$ 上面。

5. 5

   化简分子

   展开并合并分子中的同类项；分母保持为 $v^{2}$。

6. 6

   若需求值就代入

   代入题目给的 $x$ 值求斜率，或令分子等于 $0$ 求驻点。

• 分子里的次序弄反：应是 $v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}$，不是 $u\frac{dv}{dx}-v\frac{du}{dx}$。次序错了会把整个答案的正负号翻转。
• 忘了把分母平方，或写成 $v$ 而不是 $v^{2}$。
• 相减时丢了括号，把 $-(2x+1)$ 写成 $-2x+1$ 而不是 $-2x-1$。
• 想分别对分子和分母求导再相除，商法则并不是这样运作的。
• 不化简，或在平方后的分母里去约掉根本不能约的项。

学生最常做错的一步，是分子里的次序和那个减号，一个小小的失误就会把 $-7$ 变成 $+7$，白白丢分。在一对一课堂上，我们的老师会让你先写出 $u$、$v$ 和它们的导数，再把法则大声念成「分母乘分子的导数，减去分子乘分母的导数，全部放在分母平方上」，把次序牢牢锁住。

因为解题要一行一行写出来，相减里的括号始终留着，每一个方法分都容易拿到。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

想看看我们怎么教商法则，欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。