如何用乘积法则求导

在 Add Math 中，你常会遇到由两个函数相乘构成的式子，例如 $y=(2x-1)(x^{2}+1)$、$y=x^{3}(2x+5)$ 或 $y=x\sqrt{4x+1}$。当两个因式无法简单合并成一项时，乘积法则就是对这类式子求导的工具。

很容易会想分别对两个因式求导再相乘，但这是错的：$\frac{d}{dx}(uv)$ 并不等于 $\frac{du}{dx}\times\frac{dv}{dx}$。有些简单的乘积，例如 $(2x-1)(x^{2}+1)$，可以先展开再逐项求导；但很多式子无法整齐地展开，尤其涉及根号或别扭的幂次时。

乘积法则给出一套可靠、在考试中可得分的方法，它贯穿微分这一章，出现在切线、变化率和驻点问题里。

只要你看到两个含 $x$ 的函数相乘，而且没有一个是常数，就该用乘积法则。最明显的信号是真正的乘积，例如 $x^{2}(3x-1)$、$(x+2)(2x-5)$ 或 $x\sqrt{2x+1}$，其中两个因式都会随 $x$ 改变。

要小心区分三种法则。两个函数相乘时用乘积法则；一个函数套在另一个里面时用链式法则，例如 $(3x-1)^{4}$；一个函数除以另一个时用商法则。

一个快速判断法：如果你能把两个并排的因式各圈出来，而且它们都含 $x$，那么乘积法则就是对的选择。当某个因式本身是括号带幂时，你会在乘积法则里面再用到链式法则。

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   拆成两个因式

   把式子写成乘积并给因式命名：令 $u$ 为第一个、$v$ 为第二个，则 $y=uv$。

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   分别对因式求导

   分别求出 $\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$。

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   代入公式

   代入 $\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$。每个因式要配上另一个因式的导数。

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   展开每个乘积

   小心地把两个括号乘开，注意正负号。

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   合并同类项

   把结果相加并化简成一个整齐的式子。

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   若需求值就代入

   代入题目给的 $x$ 值求斜率，或令 $\frac{dy}{dx}=0$ 求驻点。

• 写成 $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\times\frac{dv}{dx}$，把两个导数相乘。这是最大的错误；这条法则是把两项相加，而不是相乘。
• 把每个因式配上它自己的导数。这条法则是第一个因式配第二个因式的导数，第二个因式配第一个因式的导数。
• 展开括号时正负号出错，尤其是遇到像 $(2x-1)(2x)$ 这样的负项时。
• 遇到括号带幂的因式忘了用链式法则，例如在乘积里对 $(3x-1)^{4}$ 求导。
• 题目要求一个式子或一个数值时，却把答案留着不化简。

学生最常做错的一步是配对：他们写成 $u'\times v'$ 而不是 $u\,v'+v\,u'$，整个答案就垮掉了。在一对一课堂上，我们的老师会看着你在动公式之前，先把 $u$、$v$、$\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$ 整齐地列成一个小表格，这样各项就绝不会配错。

因为解题要一行一行写出来，法则的两项始终清清楚楚，每一个方法分都容易拿到。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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