运用正态分布

正态分布用来对连续量建模，即测量得来、而非数出来的量，如身高、质量、时间或考试分数，它们的取值围绕均值对称地聚集，越往两端越稀疏，形成我们熟悉的钟形曲线。记作 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

由于每一组 $\mu$ 和 $\sigma$ 都对应一条不同的钟形曲线，我们无法为每一条都备一张表。于是我们把任何正态变量都化成同一个标准正态变量 $Z$，它的均值为 $0$、标准差为 $1$，所用的是 Z 分数 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$。

这样一张标准表就能回答所有问题，让我们求出 $X$ 大于某值、小于某值、或落在两值之间的概率。

当变量是连续测量值，且题目说明或明显暗示它服从给定均值与标准差的正态分布时，就用正态分布。提示词包括「服从正态分布」、「均值」、「标准差」，以及求某测量值大于、小于、或介于某些值之间的概率。

这与二项分布正好相反：二项分布是在固定次数的试验中数成功的次数。如果你在数一个个整的「成功」，就想二项分布；如果你测量的量可以在某个尺度上取任意值，就想正态分布。

正态题目的标志性第一步永远是标准化，在查表之前，先把给定的 $X$ 值化成 Z 分数。

1. 1

   写下参数

   记下均值 $\mu$、标准差 $\sigma$，以及题目中的 $X$ 值。

2. 2

   标准化

   用 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 把每个 $X$ 值化成 Z 分数。

3. 3

   画图并涂阴影

   画出标准正态曲线，把所求概率对应的区域涂上阴影。

4. 4

   查表

   查出相应 $z$ 的表值。SPM 的表给出上尾面积 $P(Z>z)$。

5. 5

   用对称或补集

   利用总面积 $1$ 和曲线的对称性，得到 $P(Z<z)$ 或「介于」概率。

6. 6

   写出概率

   写出最终概率，并对回原来的 $X$ 描述。

• 忘了标准化，直接拿原始的 $X$ 值去查表。
• 求 $Z$ 时除以方差 $\sigma^{2}$，而不是标准差 $\sigma$。
• 当 $X<\mu$ 时符号出错：Z 分数本应为负，而它的大小仍然重要。
• 把「左边面积」和「右边面积」弄混，要清楚你的表给的是哪一尾。
• 求「介于」概率时减错了两个面积，而不是先画图看清楚该把哪些面积组合起来。

最容易丢分的一步是涂阴影：学生标准化算对了，却因为从来没画曲线，而从表里取错了面积。在一对一课堂上，我们的老师坚持每次都要画个简图，并带你分辨哪块区域对应 $P(X>k)$、$P(X<k)$ 或「介于」概率，让对称与补集不再像是在猜。

我们也会检查你除的是 $\sigma$，而不是 $\sigma^{2}$。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

想看看我们怎么教正态分布，欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。