如何用链式法则求导

在 Add Math 中，许多式子是把一个函数套进另一个函数里构成的。$(2x+3)^{4}$、$\sqrt{5x-1}$ 和 $\frac{1}{(3x+2)^{2}}$ 都是复合函数：有一个「内层」式子，外面再包着一个「外层」运算。

链式法则就是我们用来对这类式子求导的工具。

逐项直接求导行不通，因为内层并不是简单的 $x$。链式法则告诉我们：先分别对外层和内层求导，再把两个结果相乘。

它在微分这一章里不断出现，并直接支撑切线、法线、变化率以及最大值与最小值问题，所以尽早掌握它，会让整个中五微积分学起来顺畅得多。

当你看到一个函数「包住」另一个式子，而不是普通的 $x$ 的幂时，就该用链式法则。最明显的信号是括号带幂，例如 $(4x-1)^{5}$；根号，例如 $\sqrt{2x+7}$，它其实是 $\frac{1}{2}$ 次幂；或者像 $\frac{3}{(x^{2}+1)}$ 这样的倒数，也就是负幂。

只要你能指出一个内层，而它的导数不只是 $1$，你就需要链式法则。一个快速的判断法：问自己「如果内层只是 $x$，我能不能直接求导？」

如果能，链式法则就是把那个简单的导数，乘上内层的导数，变成真正的导数。

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   认出复合结构

   找出内层式子，括号、根号或幂「里面」的部分，记作 $u$。

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   用 u 改写

   用 $u$ 表示 $y$，例如当 $y=(2x+3)^{4}$ 时写成 $y=u^{4}$。

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   对外层求导

   求 $\frac{dy}{du}$，把 $u$ 当作变量。

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   对内层求导

   对内层式子求导，得到 $\frac{du}{dx}$。

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   相乘

   运用 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$。

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   代回

   把 $u$ 换回原来的 $x$ 式子并化简。

• 只对外层求导，忘了乘上 $\frac{du}{dx}$，这是最常见的失误。
• 幂降下来是对的，但内层处理错了，例如把 $2x+3$ 的导数写成 $2x$ 而不是 $2$。
• 把幂降下来却忘了减一，写成 $(2x+3)^{4}$ 而不是 $(2x+3)^{3}$。
• 最后的答案停留在 $u$，没有代回 $x$ 的式子。
• 遇到 $2x+3$ 里的系数 $2$ 就误用乘积法则，其实它本就属于链式法则的一部分。

学生最常漏掉的一步，就是乘上 $\frac{du}{dx}$：他们对括号求了导，觉得已经做完，结果丢了本该拿到的分。在一对一课堂上，我们的老师会一行一行看着你算，正好在那一刻把你拦下来，让「永远要对内层求导」成为自然的习惯。

因为解题要一步步写出来，一个干净的 $u$ 代换能让每一行都清楚、容易批改。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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