求切线与法线方程

切线是恰好在一点碰触曲线、并与曲线在该处方向一致的直线。法线则是过同一点、但与切线成直角的直线。

这个方法把一个微积分概念，曲线的斜率，转化成你熟悉的直线方程 $y=mx+c$。

在 Add Math 里，这类问题贯穿微分这一章。典型题目会给你一条曲线和曲线上的一点，然后要你求切线方程、法线方程，或两者。

关键在于：曲线在某点的斜率，也就是在该处求值的 $\frac{dy}{dx}$，正好就是切线的斜率。一旦你有了斜率和一个点，剩下的就是你早已掌握的坐标几何。

当题目给出一条曲线和某个具体的点，并要求在该处碰触或穿过曲线的直线方程时，就用这个方法。提示词包括切线、法线、「碰触曲线的直线」，或「在该点与曲线垂直的直线」。

当题目给的是切线斜率而不是点时，你也需要它，例如'求切线与 $y=2x$ 平行的那一点'。这时你要先令 $\frac{dy}{dx}$ 等于给定的斜率，解出 $x$。

只要切线或法线这两个词出现在曲线旁边，微分就是你的第一步：导数提供斜率，而斜率加上一个点，永远能得到一条直线。

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   求导

   求出曲线的 $\frac{dy}{dx}$。

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   求出该点

   若只给了 $x$ 值，把它代入曲线求 $y$，得到点 $(x_{1},y_{1})$。

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   切线斜率

   把 $x_{1}$ 代入 $\frac{dy}{dx}$，得到切线斜率 $m$。

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   法线斜率

   取负倒数：$-\frac{1}{m}$。（若 $m=0$，法线为竖直线。）

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   写出方程

   用 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$，代入所需直线对应的斜率。

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   化简

   按题目要求整理成 $y=mx+c$ 或 $ax+by+c=0$。

• 把 $y$ 值当作斜率。切线斜率是在该点求值的 $\frac{dy}{dx}$，不是 $y$ 坐标。
• 只给了 $x$ 却忘了求 $y$ 坐标，结果没有点可以代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$。
• 算错法线斜率，它是 $-\frac{1}{m}$，负倒数，不是 $-m$，也不是 $\frac{1}{m}$。
• 在求导之前就把 $x$ 值代入 $\frac{dy}{dx}$，或者代入数字之后才求导。
• 在法线方程中消去 $-\frac{1}{2}$ 时出现粗心的符号或分数错误。

学生最常绊倒的一步是法线斜率：他们要么忘了取负倒数，要么把两条线弄混。在一对一课堂上，我们的老师会看着你把两个斜率并排写下来，让 $m$ 和 $-\frac{1}{m}$ 这一对变得自然，两个方程也就不会写反。

因为 Add Math 采用按步给分的批改，写出导数、点和代入过程，即使最后符号出错也能拿到方法分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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