Persamaan Tangen & Normal

Kegunaan kaedah ini

Tangen ialah garis lurus yang menyentuh lengkung pada satu titik sahaja dan menuju ke arah yang sama dengan lengkung di situ. Normal pula ialah garis lurus melalui titik yang sama tetapi bersudut tepat dengan tangen.

Kaedah ini menukar idea kalkulus, kecerunan lengkung, kepada persamaan garis lurus biasa $y=mx+c$ .

Dalam Add Math, ini muncul di seluruh bab Pembezaan. Soalan tipikal memberi anda lengkung dan satu titik padanya, kemudian meminta persamaan tangen, normal, atau kedua-duanya.

Kunci pentingnya ialah kecerunan lengkung pada satu titik, iaitu $\frac{dy}{dx}$ yang dinilai di situ, ialah tepat kecerunan garis tangen. Apabila anda sudah ada kecerunan dan satu titik, selebihnya ialah geometri koordinat yang anda sudah tahu.

Bila menggunakannya

Gunakan kaedah ini apabila soalan menyebut lengkung dan satu titik tertentu, lalu meminta persamaan garis yang menyentuh atau memotong lengkung di situ. Kata isyarat termasuk tangen, normal, 'garis yang menyentuh lengkung', atau 'garis berserenjang dengan lengkung pada'.

Anda juga memerlukannya apabila soalan memberi kecerunan tangen dan bukan titiknya, contohnya, 'cari titik di mana tangen selari dengan $y=2x$ '. Di situ anda menetapkan $\frac{dy}{dx}$ sama dengan kecerunan yang diberi dan menyelesaikan $x$ dahulu.

Setiap kali perkataan tangen atau normal muncul di sebelah lengkung, pembezaan ialah langkah permulaan anda: terbitan membekalkan kecerunan, dan kecerunan bersama satu titik sentiasa menghasilkan garis.

Kaedah langkah demi langkah

Kecerunan tangen dan normalMust memorise

m_{\text{tangen}}=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_{1}}, \qquad m_{\text{normal}}=-\frac{1}{m_{\text{tangen}}}

1
Bezakan
Cari $\frac{dy}{dx}$ bagi lengkung.
2
Cari titik
Jika hanya nilai $x$ diberi, gantikannya ke dalam lengkung untuk mendapat $y$ , memberi titik $(x_{1},y_{1})$ .
3
Kecerunan tangen
Gantikan $x_{1}$ ke dalam $\frac{dy}{dx}$ untuk mendapat kecerunan $m$ tangen.
4
Kecerunan normal
Ambil salingan negatif: $-\frac{1}{m}$ . (Jika $m=0$ , normal ialah menegak.)
5
Tulis persamaan
Guna $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan kecerunan yang betul bagi garis yang diperlukan.
6
Permudahkan
Susun semula kepada $y=mx+c$ atau $ax+by+c=0$ seperti diminta.

Contoh kerja

Q1[5 marks]

Lengkung $y=x^{2}+1$ melalui titik apabila $x=1$ . Cari persamaan tangen dan persamaan normal kepada lengkung pada titik ini.

Show worked solution

Mula-mula cari titik. Gantikan $x=1$ ke dalam lengkung: $y=(1)^{2}+1=2$ .

Titiknya ialah $(1,2)$ .

Bezakan lengkung:

\frac{dy}{dx}=2x

Kecerunan tangen ialah nilai $\frac{dy}{dx}$ pada $x=1$ : $m=2(1)=2$ .

Tangen, guna $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan $(1,2)$ dan $m=2$ :

y-2=2(x-1)\;\Rightarrow\; y=2x

Kecerunan normal ialah salingan negatif: $-\frac{1}{2}$ .

Normal, guna $(1,2)$ dan $-\frac{1}{2}$ :

y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\;\Rightarrow\; 2y-4=-(x-1)\;\Rightarrow\; x+2y-5=0

Semak dengan titik $(1,2)$ : $1+2(2)-5=0$ . Tangen ialah $y=2x$ dan normal ialah $x+2y-5=0$ .

Kesilapan lazim

Menggunakan nilai $y$ sebagai kecerunan. Kecerunan tangen ialah $\frac{dy}{dx}$ yang dinilai pada titik, bukan koordinat $y$ .
Terlupa mencari koordinat $y$ apabila hanya $x$ diberi, lalu tiada titik untuk digantikan ke dalam $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ .
Tersilap kecerunan normal, ia $-\frac{1}{m}$ , salingan negatif, bukan $-m$ dan bukan $\frac{1}{m}$ .
Menggantikan nilai $x$ ke dalam $\frac{dy}{dx}$ sebelum membezakan, atau membezakan selepas menggantikan nombor.
Kesilapan tanda atau pecahan yang cuai semasa menghapuskan $-\frac{1}{2}$ dalam persamaan normal.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Langkah yang paling kerap menjatuhkan pelajar ialah kecerunan normal: mereka sama ada terlupa salingan negatif atau keliru garis mana yang mana. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati anda menulis kedua-dua kecerunan bersebelahan, supaya pasangan $m$ dan $-\frac{1}{m}$ menjadi lumrah dan dua persamaan itu tidak pernah tertukar.

Kerana Add Math disemak secara analitik, menunjukkan terbitan, titik dan penggantian memperoleh markah kaedah walaupun tanda akhir tergelincir. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk melihat cara kami menyusun tangen dan normal dengan kemas, hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah perbezaan antara tangen dan normal?

Tangen menyentuh lengkung pada satu titik dan mempunyai kecerunan yang sama dengan lengkung di situ, jadi kecerunannya ialah $\frac{dy}{dx}$ . Normal melalui titik yang sama tetapi berserenjang dengan tangen, jadi kecerunannya ialah salingan negatif, $-\frac{1}{m}$ .

Mengapa kecerunan tangen sama dengan

\frac{dy}{dx}

Pembezaan memberi kadar perubahan $y$ terhadap $x$ , iaitu tepat kecuraman lengkung pada setiap titik. Pada satu titik, lengkung dan garis tangennya berkongsi kecuraman itu, jadi menilai $\frac{dy}{dx}$ pada titik itu memberi kecerunan tangen.

Bagaimana jika kecerunan tangen ialah sifar?

Jika $\frac{dy}{dx}=0$ , tangen adalah mengufuk, jadi persamaannya hanyalah $y=y_{1}$ . Normal pula menegak, dengan persamaan $x=x_{1}$ , kerana anda tidak boleh mengambil salingan negatif bagi sifar.

Bagaimana saya mencari titik jika hanya nilai

x

diberi?

Gantikan nilai $x$ ke dalam persamaan lengkung untuk mendapat nilai $y$ yang sepadan. Itu memberi anda titik penuh $(x_{1},y_{1})$ , yang kemudian anda guna dalam $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ .

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Mencari persamaan tangen dan normal