如何解三角方程

解三角方程，就是在给定的范围内找出所有能让方程成立的角。由于 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 都是周期重复的，像 $\cos 2x=\tfrac{1}{2}$ 这样一个方程，在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 这样的范围里通常有好几个解。

这是中五三角函数这一章的核心技能，在两份试卷里都能拿到方法分。任务不只是按一下计算器，那只会给出一个角，而是要用基本角，再结合比值在每个象限的正负号，把所有正确的解都列出来。

当题目把一个三角比值等于某个数值，并给出范围时，就用这个方法，例如「在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 内解 $2\cos 2x=1$」或「求所有 $x$ 值」。「解」加上范围，以及「所有值」这样的说法，都在提醒你答案不止一个。

如果方程里有 $\sin^{2}$、$\cos^{2}$ 或几种比值混在一起，先用恒等式把它化成单一比值；如果出现像 $2x$ 或 $3x$ 这样的倍角，记得先扩大范围再求解，最后再除回去。

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   分出比值

   整理到只剩一个三角比值等于一个数，例如 $\cos 2x=\tfrac{1}{2}$。

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   必要时扩大范围

   遇到像 $2x$ 的倍角，把范围 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 换成 $0^{\circ}\le 2x\le 720^{\circ}$。

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   求基本角

   对正值取反函数，例如 $\cos^{-1}(\tfrac{1}{2})=60^{\circ}$。这里一律用正值。

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   判断象限

   比值的符号告诉你解在哪些象限，余弦在第一、第四象限为正。

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   列出所有角

   在扩大后的范围内，把倍角的每一个角都写出来。

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   除回并作答

   把每个角除以倍数得回 $x$，再列出所要求范围内的全部解。

• 只给出计算器算出的第一个角，漏掉了另一个象限。
• 忘了给倍角扩大范围，遇到 $2x$，范围要到 $720^{\circ}$，不是 $360^{\circ}$。
• 把范围除了，却没把每个角都除，结果丢掉第二圈带来的额外解。
• 忽略比值是正还是负，象限判断错了。
• 把度数和弧度混用，或在最后一步之前就把基本角四舍五入了。

学生丢分最多的一步就是范围：遇到 $2x$ 这样的倍角，他们在 $0^{\circ}$ 到 $360^{\circ}$ 里解，只交出一半答案。在一对一课堂上，我们的老师会正好在那一行把你拦下来，让「扩大范围、核对象限符号」成为自然的习惯，而不是事后才想起。

把基本角边算边说出来，规律就记得牢。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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