解联立方程（一个线性，一个非线性）

当题目给出一对方程，其中一个是直线、另一个是曲线时，这个方法用来求出两者相交的准确点。在 Add Math 里，这个课题属于中四的方程组章节。

线性方程中每个变量的最高次数都是一，例如 $x - y = 1$。非线性方程则含有平方项或变量的乘积，例如 $x^{2} + y^{2} = 25$ 或 $xy = 12$。

把两个方程一起解，得到的就是直线与曲线相交处的坐标。由于一条直线可以在两个位置切过曲线，你通常应当预期得到两组解，而不是一组。

最可靠的工具是代入法：用简单的线性方程去替换较复杂的非线性方程里的一个变量，这样整道题就化成一个你早已会解的一元二次方程。

这一类题目一眼就能认出来：有两个方程和两个未知数，其中一个是直线（最高次数为一），另一个含有 $x^{2}$、$y^{2}$ 或 $xy$ 项。指令用词也是明显的信号，像「解联立方程」「求交点坐标」或「求直线与曲线的交点」这类说法，都指向这个方法。

从图像上想象：题目问的是直线和曲线在哪里相遇或相交。如果两个方程都是直线，你会用消去法，并且只预期一个交点；但一旦出现平方或乘积，就改用代入法，并准备好会有两个答案。

在我们的课堂上，会先教学生把线性方程标示出来，因为需要重新整理的永远是它。

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   标示两个方程

   把线性方程叫作 (1)，非线性方程叫作 (2)。这样你的解题过程整齐，也方便阅卷老师跟随。

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   把一个变量单独表示出来

   从线性方程 (1) 中，把 $x$ 或 $y$ 单独表示出来，选择能避开分数的那一个。

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   代入曲线方程

   把这个变量代入非线性方程 (2)，此时就只剩一个未知数了。

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   整理成二次方程

   展开括号、合并同类项，整理成 $ay^{2} + by + c = 0$ 的形式。

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   解二次方程

   若能整齐分解就用因式分解，否则用公式法。你应当得到两个值。

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   把答案配对

   把每个值代回线性方程 (1) 求出对应的另一个值，得到两组坐标。

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   验算

   把每组坐标代入原来的非线性方程，确认两边相等。

• 先整理非线性方程，这往往会带出平方根和杂乱的运算。要始终从线性方程中把变量单独表示出来。
• 漏掉第二组解。直线通常与曲线相交两次，只求出一个值就停下会丢分。
• 对括号平方时出现符号或展开错误，例如把 $(y + 1)^{2}$ 写成 $y^{2} + 1$ 而不是 $y^{2} + 2y + 1$。
• 把答案代回非线性方程去找配对值，这可能产生多余的无效根。应当用线性方程来配对。
• 只写出数字而没有配对，使得 $x$ 与 $y$ 没有组成正确的坐标。

大多数学生都会说「用代入法」，却在一个明确的地方丢分：展开平方括号，或在最后把错误的 $x$ 和错误的 $y$ 配在一起。在一对一的课堂里，我们的老师会实时看着你的解题过程，错误一出现就抓住，让你当场把那一行重新做对，不让它变成习惯。

由于这个科目的评分是按步给分的，即使最后一个数字算错，方法分仍然拿得到，所以我们会训练你把每一次代入都写得清楚。我们的老师经验丰富。

课程在线上进行、以英语授课，同时并列马来文术语，让两种版本的考卷都不陌生。