如何运用小改变与近似值

在 Add Math 中，$\frac{dy}{dx}$ 通常表示某一瞬间的变化率。小改变法则把同一个导数用在另一种用途上：当 $x$ 只有一个很小的变化 $\delta x$ 时，曲线在这一小段几乎就是一条直线，也就是它自己的切线，所以 $y$ 相应产生的微小变化 $\delta y$，可以很好地用 $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$ 来估计。

这让我们可以在不重新完整计算的情况下做两件有用的事：估计一个式子的值，只要它接近一个我们已经能准确算出的值，例如 $(2.03)^{3}$ 接近 $2^{3}$；以及求出当图形的一个尺寸有微小变化时，另一个量会受到多大影响，例如圆的半径稍微增大时面积的变化。两者其实是同一个想法，用建立在已知点斜率上的一个快速而可靠的估计值，来代替一次精确却繁琐的计算。

留意题目是否明确要求你估计或求近似值，例如 $(2.03)^{3}$ 或 $\sqrt{4.02}$ 这类接近某个容易且能准确算出的数的式子。这与直接求精确值不同，而避开那种较长的精确计算，正是这个方法的重点所在。

当一个量通过某个公式，面积、体积、周长，依赖于另一个量，而其中一个尺寸有微小变化时，也会用到这个方法。半径为 $r$ 的圆，其面积 $A=\pi r^{2}$；求导得 $\frac{dA}{dr}=2\pi r$，所以半径的微小增加 $\delta r$ 会使面积产生微小变化 $\delta A \approx 2\pi r\,\delta r$。

比方说，若 $r=5$ 厘米，$\delta r=0.1$ 厘米，则 $\delta A \approx 2\pi(5)(0.1)=\pi \approx 3.14$ 平方厘米，不必算出两个完整的面积再相减。

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   认出 y 与已知点

   把这个量写成 $y=f(x)$，并找出一个容易准确算出 $y$ 值的 $x$，记作 $a$。

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   求导

   求出 $\frac{dy}{dx}$，把它写成 $x$ 的函数。

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   在已知点求出斜率

   把 $x=a$ 代入 $\frac{dy}{dx}$，注意是已知点，而不是那个新的、未知的 $x$ 值。

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   写出微小变化 δx

   求出 $\delta x$，即 $x$ 从 $a$ 变到新值的微小变化量，并保留正负号，增大为正，减小为负。

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   代入公式

   代入 $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$，求出 $y$ 的近似微小变化。

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   写出题目所要求的值

   如果题目要求变化量，写出 $\delta y$ 即可。如果要求 $y$ 的新值，就要加回去：$y_{\text{新}} \approx y+\delta y$。

• 把 $\frac{dy}{dx}$ 代入那个新的、未知的 $x$ 值（例如 $2.03$），而不是已知的起点 $x=2$，斜率必须来自你已经准确知道的那个点。
• $\delta x$ 的正负号搞错，例如从 $5$ 厘米减少到 $4.98$ 厘米，应该是 $\delta x=-0.02$，而不是 $+0.02$。
• 算到 $\delta y$ 就停下来，却忘了题目问的是近似新值，别忘了加回去：$y_{\text{新}} \approx y+\delta y$。
• 把这个方法用在其实并不小的变化上，使直线近似变得不可靠；这个方法只在 $\delta x$ 很小时才准确。
• 在面积或体积的题目中，忘了先把百分比变化换算成实际的微小数值，再代入 $\delta x$。

学生最常丢分的一步，就是把 $\frac{dy}{dx}$ 代入错误的点，用了那个新的、近似的 $x$ 值，而不是已知的那个。在一对一课堂上，老师会看着你一行一行写出 $y$、$\frac{dy}{dx}$ 和 $\delta x$，并立刻纠正这个错误，让代入正确的点成为一种自然的习惯。

因为解题过程会一步步写出来，很容易看清 $\delta y$ 是在哪一步加回 $y$，从而回答题目真正问的问题。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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