Cara menggunakan perubahan kecil dan penghampiran

Dalam Add Math, $\frac{dy}{dx}$ biasanya digunakan sebagai kadar perubahan seketika. Perubahan kecil menggunakan terbitan yang sama untuk tujuan berbeza: bagi perubahan yang sangat kecil $\delta x$ pada $x$, lengkung itu kelihatan hampir seperti garis tangennya sendiri pada bahagian kecil itu, jadi perubahan kecil yang terhasil pada $y$, ditulis $\delta y$, boleh dianggarkan dengan baik menggunakan $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$.

Ini membolehkan kita melakukan dua perkara berguna tanpa pengiraan penuh semula: menganggarkan nilai suatu ungkapan yang hampir dengan nilai yang boleh kita kira dengan tepat, seperti $(2.03)^{3}$ yang hampir dengan $2^{3}$; dan mencari bagaimana satu kuantiti terjejas apabila dimensi sesuatu bentuk berubah sedikit, seperti luas bulatan apabila jejarinya bertambah sedikit. Kedua-duanya idea yang sama, menukar pengiraan tepat tetapi rumit dengan anggaran yang pantas dan boleh dipercayai, dibina daripada kecerunan pada titik yang sudah kita ketahui.

Perhatikan soalan yang secara khusus meminta anda anggarkan atau cari nilai hampir bagi suatu ungkapan seperti $(2.03)^{3}$ atau $\sqrt{4.02}$, nombor yang hampir dengan nilai yang boleh anda kira dengan tepat dan mudah. Ini berbeza daripada mencari nilai tepat, dan mengelakkan pengiraan tepat yang lebih panjang itulah tujuan utama kaedah ini.

Ia juga muncul apabila satu kuantiti bergantung kepada kuantiti lain melalui suatu rumus, luas, isi padu, perimeter, dan satu dimensi berubah sedikit. Bulatan berjejari $r$ mempunyai luas $A=\pi r^{2}$; membezakannya memberi $\frac{dA}{dr}=2\pi r$, jadi pertambahan kecil $\delta r$ pada jejari menghasilkan perubahan kecil $\delta A \approx 2\pi r\,\delta r$ pada luas.

Sebagai contoh, jika $r=5$ cm dan $\delta r=0.1$ cm, maka $\delta A \approx 2\pi(5)(0.1)=\pi \approx 3.14$ cm², tidak perlu mengira dua luas penuh dan menolaknya.

1. 1

   Kenal pasti y dan titik yang diketahui

   Tuliskan kuantiti itu sebagai $y=f(x)$ dan catatkan satu nilai $x$, namakan $a$, di mana $y$ mudah dikira dengan tepat.

2. 2

   Bezakan

   Cari $\frac{dy}{dx}$ sebagai fungsi $x$.

3. 3

   Nilaikan kecerunan pada titik diketahui

   Gantikan $x=a$ ke dalam $\frac{dy}{dx}$, bukan nilai $x$ yang baharu dan tidak diketahui.

4. 4

   Nyatakan perubahan kecil δx

   Kira $\delta x$, iaitu perubahan kecil pada $x$ daripada $a$ kepada nilai baharu, sambil mengekalkan tandanya: positif untuk pertambahan, negatif untuk pengurangan.

5. 5

   Gunakan rumus

   Gantikan ke dalam $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$ untuk mendapatkan anggaran perubahan kecil pada $y$.

6. 6

   Berikan nilai yang diminta

   Jika soalan meminta perubahan, nyatakan $\delta y$. Jika ia meminta nilai baharu $y$, tambahkannya: $y_{\text{baharu}} \approx y+\delta y$.

• Menilai $\frac{dy}{dx}$ pada nilai $x$ yang baharu dan tidak diketahui (seperti $2.03$) dan bukannya titik permulaan yang diketahui $x=2$, kecerunan mesti datang daripada titik yang sudah anda ketahui dengan tepat.
• Tersilap tanda $\delta x$, pengurangan, seperti daripada $5$ cm kepada $4.98$ cm, memberi $\delta x=-0.02$, bukan $+0.02$.
• Berhenti pada $\delta y$ sedangkan soalan meminta nilai baharu anggaran, ingat untuk menambahkannya semula: $y_{\text{baharu}} \approx y+\delta y$.
• Menggunakan kaedah ini pada perubahan yang sebenarnya tidak kecil, yang menjadikan penghampiran garis lurus tidak boleh dipercayai; ia hanya berkesan apabila $\delta x$ kecil.
• Dalam soalan luas atau isipadu, terlupa menukar peratusan perubahan kepada nombor kecil sebenar untuk $\delta x$ sebelum menggantikannya ke dalam rumus.

Langkah yang paling kerap menyebabkan pelajar hilang markah ialah menilai $\frac{dy}{dx}$ pada titik yang salah, menggantikan nilai $x$ yang baharu dan anggaran, bukan yang diketahui. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati anda menyusun $y$, $\frac{dy}{dx}$ dan $\delta x$ baris demi baris dan menangkap kesilapan itu serta-merta, supaya memilih titik yang betul untuk digantikan menjadi automatik.

Kerana kerja anda ditunjukkan langkah demi langkah, mudah dilihat di mana $\delta y$ ditambah semula kepada $y$ untuk menjawab soalan yang sebenarnya ditanya. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Jika anda ingin melihat cara kami mengajar perubahan kecil dan penghampiran, hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.