求解最大与最小问题

最优化题目要求某样东西可能的最大值或最小值，一段围栏能围出的最大面积、一个容器的最小表面积、一个盒子的最大体积。这个方法用微分精确地求出那个最优值，而不是靠猜。

这个想法依托于转折点。在最大值或最小值处，曲线会瞬间变平，所以斜率为零：$\frac{dy}{dx}=0$。

把我们关心的量写成单变量函数，再解 $\frac{dy}{dx}=0$，就能找到那个转折点，而二阶导数会告诉我们它是波峰还是波谷。在 Add Math 里，这类题目在微分这一章分值不低，而且常以现实情境的形式出现，所以认出背后的结构就已经成功了一半。

当题目要求最大值或最小值、最大或最小、最大的面积或体积，或者使成本「尽可能小」的值时，就用这个方法。这些字眼标志着一个转折点，而转折点来自 $\frac{dy}{dx}=0$。

一个可靠的线索是：题目在给出待优化的量的同时，还给了一个约束条件，固定长度的围栏、固定的周长、定量的材料。正是这个约束让你把两个变量降为一个。

如果你能把目标量写成单一变量的函数，而题目又要它的最优值，那这正是该用的方法。

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   命名这个量

   为要取最大或最小的量写出式子，例如面积 $A$ 或体积 $V$。

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   运用约束

   用给定的固定条件消去一个变量，使这个量只依赖于一个变量。

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   求导

   对这个单变量式子求一阶导数。

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   令导数为零并求解

   把一阶导数置为 $0$ 并求解，得到转折点处的值。

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   确认类型

   求二阶导数；负值表示最大值，正值表示最小值。

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   写出答案

   代回求出所需的最大值或最小值，并带上单位。

• 试图对一个双变量的式子求导。你必须先用约束把它降到一个变量。
• 忘了做二阶导数检验，于是要最大值却报了最小值，或反过来。
• 解出 $\frac{dy}{dx}=0$ 的 $x$ 就停下，你还得求出真正的最大值或最小值。
• 约束列错了，例如墙已替代了一条边，却还把四条边都算进去。
• 最后答案漏了单位，或者题目要面积、体积，却给了长度。

决定这类题目成败的一步是列式：把文字翻译成一个量和一个约束，再降到单一变量。在这一步赶时间的学生，最后往往对着错误的式子求导，无法挽回。

在一对一课堂上，我们的老师会陪你把第一步放慢，先在图上标注、写出约束，再开始任何微积分，这样求导就变得直截了当。因为考卷按步给分，一行清楚的 $\frac{dy}{dx}=0$ 和一次二阶导数检验，即使时间紧张也能拿到分。

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