Masalah Maksimum & Minimum

Kegunaan kaedah ini

Soalan pengoptimuman meminta nilai terbesar atau terkecil yang mungkin bagi sesuatu, luas maksimum yang boleh dipagar, luas permukaan minimum sebuah bekas, atau isi padu terbesar sebuah kotak. Kaedah ini menggunakan pembezaan untuk mencari nilai terbaik itu dengan tepat, bukan dengan teka-teki.

Ideanya bersandar pada titik pusingan. Pada maksimum atau minimum, lengkung menjadi rata seketika, jadi kecerunannya sifar: $\frac{dy}{dx}=0$ .

Dengan mengungkapkan kuantiti yang kita mahu sebagai fungsi satu pemboleh ubah dan menyelesaikan $\frac{dy}{dx}=0$ , kita mengesan titik pusingan itu, dan terbitan kedua memberitahu sama ada ia puncak atau lembah. Dalam Add Math, soalan begini membawa markah yang baik dalam bab Pembezaan dan sering muncul dalam bentuk situasi dunia sebenar, jadi mengenali struktur asasnya sudah separuh jalan.

Bila menggunakannya

Gunakan kaedah ini apabila soalan meminta nilai maksimum atau minimum, yang terbesar atau terkecil, luas atau isi padu tertinggi, atau nilai yang menjadikan kos 'sekecil mungkin'. Perkataan ini menandakan titik pusingan, dan titik pusingan datang daripada $\frac{dy}{dx}=0$ .

Petunjuk yang boleh dipercayai ialah soalan memberi satu kekangan, panjang pagar yang tetap, perimeter yang tetap, atau jumlah bahan yang ditetapkan, bersama kuantiti yang hendak dioptimumkan. Kekangan itulah yang membolehkan anda mengurangkan dua pemboleh ubah kepada satu.

Jika anda boleh menulis kuantiti sasaran sebagai fungsi satu pemboleh ubah dan soalan mahukan nilai terbaiknya, inilah kaedah yang tepat untuk digunakan.

Kaedah langkah demi langkah

Titik pegun dan jenisnyaMust memorise

\frac{dy}{dx}=0 \;\text{ memberi titik pusingan};\quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0 \Rightarrow \text{maks},\;\; \frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0 \Rightarrow \text{min}

1
Namakan kuantiti
Tulis ungkapan bagi perkara yang hendak dimaksimum atau diminimumkan, seperti luas $A$ atau isi padu $V$ .
2
Guna kekangan
Guna syarat tetap yang diberi untuk menyingkirkan satu pemboleh ubah, supaya kuantiti bergantung pada satu pemboleh ubah sahaja.
3
Bezakan
Cari terbitan pertama bagi ungkapan satu pemboleh ubah itu.
4
Selesaikan terbitan sama dengan sifar
Tetapkan terbitan pertama kepada $0$ dan selesaikan untuk mencari nilai pada titik pusingan.
5
Sahkan jenisnya
Cari terbitan kedua; nilai negatif bermaksud maksimum, nilai positif bermaksud minimum.
6
Nyatakan jawapan
Gantikan semula untuk mencari nilai maksimum atau minimum yang diperlukan, lengkap dengan unit.

Contoh kerja

Q1[6 marks]

Sebuah taman berbentuk segi empat tepat hendak dipagar pada tiga sisi, dengan sebuah dinding sedia ada membentuk sisi keempat. Jumlah panjang pagar yang ada ialah $12$ m.

Cari luas maksimum taman itu.

Show worked solution

Biar dua sisi yang berserenjang dengan dinding masing-masing berpanjangan $x$ m, dan sisi yang selari dengan dinding berpanjangan $y$ m.

Pagar meliputi dua sisi $x$ dan satu sisi $y$ , jadi kekangannya ialah $2x+y=12$ , memberi $y=12-2x$ .

Luasnya ialah $A=xy$ . Gantikan kekangan:

A=x(12-2x)=12x-2x^{2}

Bezakan dan tetapkan sama dengan sifar:

\frac{dA}{dx}=12-4x=0\;\Rightarrow\; x=3

Sahkan ia maksimum menggunakan terbitan kedua:

\frac{d^{2}A}{dx^{2}}=-4<0 \;\Rightarrow\; \text{maksimum}

Apabila $x=3$ , $y=12-2(3)=6$ . Luas maksimum ialah $A=3\times 6=18$ m $^{2}$ .

Kesilapan lazim

Cuba membezakan ungkapan dua pemboleh ubah. Anda mesti guna kekangan untuk turun kepada satu pemboleh ubah dahulu.
Terlupa semakan terbitan kedua, jadi minimum dilaporkan sedangkan maksimum diminta, atau sebaliknya.
Menyelesaikan $\frac{dy}{dx}=0$ untuk $x$ dan berhenti, anda masih perlu mencari nilai maksimum atau minimum yang sebenar.
Membina kekangan dengan salah, contohnya mengira keempat-empat sisi sedangkan dinding menggantikan salah satunya.
Meninggalkan unit dalam jawapan akhir, atau memberi panjang sedangkan luas atau isi padu yang diminta.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Langkah yang menentukan soalan ini ialah persediaannya: menterjemah ayat kepada satu kuantiti dan satu kekangan, kemudian mengurangkan kepada satu pemboleh ubah. Pelajar yang tergesa-gesa pada bahagian ini akhirnya membezakan ungkapan yang salah dan tidak dapat pulih.

Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan peringkat pertama itu bersama anda, melabel rajah dan menulis kekangan sebelum sebarang kalkulus bermula, supaya pembezaan menjadi mudah. Kerana kertas memberi markah kaedah, satu baris $\frac{dy}{dx}=0$ yang jelas dan semakan terbitan kedua memperoleh kredit walaupun ketika tertekan masa.

Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris. Untuk berlatih pengoptimuman dengan persediaan berpandu, hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa

\frac{dy}{dx}=0

memberi maksimum atau minimum?

Pada maksimum atau minimum, lengkung menjadi rata seketika, jadi kecerunannya sifar. Menetapkan $\frac{dy}{dx}=0$ mencari tepat titik-titik rata itu, dipanggil titik pegun, di mana maksimum atau minimum boleh berlaku.

Bagaimana saya membezakan maksimum daripada minimum?

Guna terbitan kedua. Jika $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ pada titik pegun, lengkung melengkung ke bawah, jadi ia maksimum.

Jika $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ , lengkung melengkung ke atas, jadi ia minimum.

Apakah peranan kekangan dalam masalah ini?

Kekangan ialah syarat tetap, seperti panjang pagar yang ditetapkan, yang menghubungkan pemboleh ubah anda. Ia membolehkan anda menggantikan satu pemboleh ubah dari segi yang lain supaya kuantiti yang hendak dioptimumkan menjadi fungsi satu pemboleh ubah, iaitu yang boleh anda bezakan.

Adakah saya sentiasa perlukan ujian terbitan kedua?

Ia cara paling jelas untuk mengesahkan jenis titik pusingan dan merupakan kerja yang dijangka. Anda juga boleh menguji tanda $\frac{dy}{dx}$ sejurus sebelum dan selepas titik, tetapi ujian terbitan kedua biasanya lebih pantas dan kemas bagi soalan begini.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Menyelesaikan masalah maksimum dan minimum