如何求反函数

反函数把原函数所做的事情倒过来。如果 $f$ 把一个输入变成一个输出，那么反函数 $f^{-1}$ 就把那个输出送回原来的输入，所以 $f(a)=b$ 恰好意味着 $f^{-1}(b)=a$。

正因为这种「还原」，一个函数与它的反函数复合后会把输入原样送回：$ff^{-1}(x)=x$，$f^{-1}f(x)=x$。这个方法能回答这类题目：「求 $f^{-1}(x)$」「求 $f^{-1}(7)$ 的值」，或「写出使 $f^{-1}$ 无定义的 $x$ 值」。

它是中四《函数》这一章的核心技能。一个函数只有在它是一对一（每个输出只来自一个输入）时才有反函数，这也是本课题与定义域、值域密切相关的原因。

把 $f^{-1}$ 想成一台「倒转机器」，能让代数不出错。$f$ 最后做的动作，$f^{-1}$ 就要最先撤销。

这个画面也解释了为什么 $f^{-1}$ 的图形是 $f$ 的图形关于直线 $y=x$ 的反射。

当题目出现符号 $f^{-1}$，要你把它求成表达式、在某个数上求值，或说明它在哪里有定义时，就该用这个方法。常见问法是「求 $f^{-1}(x)$」或「据此求 $f^{-1}(5)$」。

当题目要你证明两个函数互为反函数时也用它，做法是检验它们的复合等于 $x$。另一个信号是关于 $y=x$ 反射的图形题。

由于《函数》是整份大纲的开篇，反函数常与复合函数结合，在试卷一和试卷二里都会出现。只要哪里看到 $f^{-1}$，就用这个工具，但先确认函数是一对一的，反函数才真正存在。

按这个顺序做，每次都能得到整洁的反函数：

1. 1

   写出 $y=f(x)$

   把函数名换成 $y$，于是像 $f(x)=3x+1$ 的规则就变成 $y=3x+1$。

2. 2

   把 $x$ 解出来

   整理方程，让 $x$ 单独留在一边，按相反顺序逐一撤销每个运算。

3. 3

   把 $y$ 换成 $x$

   把每个 $y$ 都换成 $x$，把结果写成 $f^{-1}(x)$，这就是标准形式的反函数。

4. 4

   说明限制

   如果反函数含有分式或平方根，写出它排除的 $x$ 值；$f^{-1}$ 的定义域等于 $f$ 的值域。

5. 5

   用复合检验

   通过证明 $ff^{-1}(x)=x$ 来核对答案。若能化简成 $x$，反函数就正确。

先自己试一试，再逐行对照解答。

注意注解里两个互相独立的检验。证明 $ff^{-1}(x)=x$ 确认了整条公式，而 $f(3)=10$ 确认了单个数值。

两者一致，你就能放心往下做。

• 把 $f^{-1}(x)$ 与 $\frac{1}{f(x)}$ 混为一谈。反函数不是倒数；这个 $-1$ 是表示「倒转」的记号，不是次方。
• 撤销运算的顺序弄反。要倒过来：如果 $f$ 先乘再加，就先减再除。
• 最后忘了交换 $y$ 与 $x$，答案还留着 $y$。
• 反函数含分式或根号时漏了定义域限制，没有写出被排除的值。
• 试图对一个不是一对一的函数求反；没有合适的定义域限制，反函数并不存在。

最容易丢分的一步是「解出 x」，就在你把 $x$ 变成主项、某个运算被按错顺序撤销的那一刻。在一对一的课堂上，我们的老师会盯着那一行，看你是先除后减，还是忘了交换变量，再让你只重做那一步，直到它变得自然。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会把代数联系回「倒转机器」这个画面、让你真正想通而不是死记的人。课程在线进行、以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题。

我们还会培养复合检验 $ff^{-1}(x)=x$ 的习惯，让错误的反函数在到达答案行之前就被抓出来。