Cara Mencari Fungsi Songsang

Fungsi songsang membalikkan apa yang dilakukan oleh fungsi asal. Jika $f$ mengambil input dan menghasilkan output, maka songsang $f^{-1}$ mengambil output itu dan mengembalikan input asal, jadi $f(a)=b$ bermaksud tepatnya $f^{-1}(b)=a$.

Kerana pembatalan ini, menggubah fungsi dengan songsangnya mengembalikan input tanpa berubah: $ff^{-1}(x)=x$ dan $f^{-1}f(x)=x$. Kaedah ini menjawab soalan seperti "cari $f^{-1}(x)$", "nilaikan $f^{-1}(7)$", atau "nyatakan nilai $x$ yang menjadikan $f^{-1}$ tidak tertakrif".

Ini kemahiran teras bab Fungsi Tingkatan 4. Fungsi hanya mempunyai songsang jika ia satu-dengan-satu, setiap output datang daripada tepat satu input, sebab itulah tajuk ini berkait rapat dengan domain dan julat.

Menganggap $f^{-1}$ sebagai mesin terbalik memastikan algebra anda jujur. Apa sahaja yang $f$ buat terakhir, $f^{-1}$ mesti batalkan dahulu.

Gambaran ini juga menerangkan mengapa graf $f^{-1}$ ialah pantulan graf $f$ pada garis $y=x$.

Gunakan kaedah ini apabila soalan memakai simbol $f^{-1}$ dan meminta anda mencarinya sebagai ungkapan, menilainya pada suatu nombor, atau menyatakan di mana ia tertakrif. Ayat biasa berbunyi "cari $f^{-1}(x)$" atau "seterusnya cari $f^{-1}(5)$".

Anda juga menggunakannya apabila soalan meminta anda menunjukkan dua fungsi ialah songsang antara satu sama lain, yang disahkan dengan memeriksa bahawa gubahannya bersamaan $x$. Petanda lain ialah soalan graf yang meminta pantulan pada $y=x$.

Oleh sebab bab Fungsi membuka silibus, kerja fungsi songsang muncul dalam Kertas 1 dan Kertas 2, sering dikaitkan dengan fungsi gubahan. Jika anda nampak $f^{-1}$ di mana-mana, inilah alatnya, tetapi pastikan dahulu fungsi itu satu-dengan-satu supaya songsang benar-benar wujud.

Ikut susunan ini untuk songsang yang kemas setiap kali:

1. 1

   Tulis $y=f(x)$

   Gantikan nama fungsi dengan $y$, jadi rumus seperti $f(x)=3x+1$ menjadi $y=3x+1$.

2. 2

   Jadikan $x$ subjek

   Susun semula persamaan supaya $x$ bersendirian di satu sisi, dengan membatalkan setiap operasi dalam susunan terbalik.

3. 3

   Tukar $y$ kepada $x$

   Gantikan setiap $y$ dengan $x$ dan tulis hasilnya sebagai $f^{-1}(x)$. Ini memberi songsang dalam bentuk piawai.

4. 4

   Nyatakan sebarang sekatan

   Jika songsang melibatkan pecahan atau punca kuasa dua, catat nilai $x$ yang dikecualikan; domain $f^{-1}$ bersamaan julat $f$.

5. 5

   Semak dengan gubahan

   Sahkan jawapan dengan menunjukkan $ff^{-1}(x)=x$. Jika ia mudah menjadi $x$, songsang itu betul.

Cuba dahulu sendiri, kemudian semak setiap baris dengan penyelesaian.

Perhatikan dua semakan bebas dalam nota itu. Menunjukkan $ff^{-1}(x)=x$ mengesahkan rumus am, manakala $f(3)=10$ mengesahkan nilai tunggal.

Apabila kedua-duanya sepadan, anda boleh teruskan tanpa ragu.

• Mengelirukan $f^{-1}(x)$ dengan $\frac{1}{f(x)}$. Songsang bukan salingan; $-1$ itu tatatanda untuk "membalikkan", bukan kuasa.
• Membatalkan operasi dalam susunan yang salah. Balikkan susunan: jika $f$ mendarab kemudian menambah, batalkan dengan menolak kemudian membahagi.
• Terlupa menukar $y$ dan $x$ di akhir, lalu meninggalkan jawapan dalam sebutan $y$.
• Terlepas sekatan domain apabila songsang mempunyai pecahan atau punca, jadi nilai yang dikecualikan tidak dinyatakan.
• Cuba menyongsangkan fungsi yang bukan satu-dengan-satu; tanpa sekatan domain yang sesuai, songsang tidak wujud.

Langkah tunggal yang mengorbankan markah ialah penyusunan semula, saat anda menjadikan $x$ subjek dan satu operasi dibatalkan di luar susunan. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris itu, melihat sama ada anda membahagi sebelum menolak atau terlupa menukar pemboleh ubah, lalu meminta anda mengulang langkah itu sahaja sehingga ia automatik.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat orang yang mengaitkan algebra kembali dengan idea "mesin terbalik" supaya ia masuk akal, bukan sekadar melekat. Kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris.

Kami juga membina tabiat semakan gubahan, $ff^{-1}(x)=x$, supaya songsang yang salah ditangkap sebelum sampai ke baris jawapan.