如何对多项式积分

积分是求导的逆运算。求导把曲线变成它的斜率函数，积分则把斜率函数还原回原来的曲线。

对多项式积分，是你在 Add Math 里做得最基础、也最常做的积分，它是这一章其他内容的根基。

用到的工具是积分的幂法则：对每一项，把幂加一，再除以新的幂。因为多项式不过是若干幂项之和，你只要对每一项依次运用这条法则即可。

这个方法能回答'求 $\int(6x^{2}-4x+3)\,dx$'这类题目，而更关键的是，能回答那些给出 $\frac{dy}{dx}$ 和曲线上一点、要你求出方程 $y$ 的题目。积分常数 $c$ 正是在这时登场。

当你看到积分号 $\int$ 套着若干幂项之和，或者题目给出一个导数，$\frac{dy}{dx}$、斜率函数、速度或某个变化率，并要你还原出原来的量时，就用多项式积分。像「积分」、'用 $x$ 表示 $y$'、'满足 $\frac{dy}{dx}=\dots$ 的曲线'这些说法都是信号。

如果题目还给了曲线经过的某个具体点，那就是提示你要去求积分常数，而不是停在 $+c$。对于定积分，积分号上写着上下限，你照样积分，然后代入上下限，而不是加 $c$。

无论哪种，对任何多项式的第一步都是幂法则，逐项进行。

1. 1

   一次处理一项

   对多项式的每一项分别积分。

2. 2

   把幂加一

   给该项中 $x$ 的幂加上 $1$。

3. 3

   除以新的幂

   把系数除以新的幂。

4. 4

   处理常数项

   常数 $k$ 积分后为 $kx$。

5. 5

   加 c

   对不定积分，加上积分常数 $c$。

6. 6

   有点则求 c

   代入给定的点解出 $c$，再写出最终方程。

• 不定积分忘了加积分常数 $c$，这是很常见的失分。
• 把积分和求导弄混：这里你要升幂再除，而不是降幂再乘。
• 除以旧的幂而不是新的幂，例如写成 $\frac{6x^{3}}{2}$ 而不是 $\frac{6x^{3}}{3}$。
• 把常数项积成另一个常数，而不是积成 $kx$。
• 题目已给了点，最后答案却还留着 $+c$，没有把它的值解出来。

学生最常漏掉的一步是积分常数，接着连用点求 $c$ 的方法也一起丢了。在一对一课堂上，我们的老师会让写 $+c$ 变成一种反射动作，再带你代入给定的点，使求 $c$ 成为例行步骤，而不是事后才想起。

我们也会把法则的方向钉死，升幂、除以新的幂，因为不小心把求导法则反过来用，正是经典的失误。由于考卷按步给分，一行清楚的积分即使算术出点差错也照样拿分。

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