在线性规划中绘制约束并优化

线性规划回答一个很实际的问题：在一组限制之下，怎样的选择能让某个量尽可能大或尽可能小？一间工作坊可能会问：在时间和材料有限的情况下，两种产品各做多少才能使利润最大？

每一个限制都化成两个变量 $x$ 和 $y$ 的一条线性不等式。

我们把所有不等式画在同一组坐标轴上，并给可行域涂上阴影，它是同时满足所有约束的点的集合。要使之最大或最小的量（利润、成本、分数）就是目标函数，一个线性式子，例如 $k=3x+2y$。

由于目标函数是线性的，它在整个区域上的最大值与最小值总是出现在某个角（顶点），所以这个方法最后就是检验这些顶点。

当题目给出两个未知量，以及几个用“至少”、“至多”、“不超过”、“不少于”表述的条件，然后问某个量的最大值或最小值时，就用这个方法。「利润最大」、「成本最小」、「给区域 $R$ 涂阴影」、「求……的最大值」等字眼都是强烈的信号。

你通常要先把一段短文字翻译成不等式，再作图。如果问题只有一个变量，或只是要求解方程、而不是在某个区域内优化，那就不是线性规划题。

要涂阴影的区域，加上一个要尽量做大或做小的量，两者同时出现，正是这一课题的标志。

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   设定变量

   设 $x$ 和 $y$ 表示两个未知量，并清楚说明各自代表什么。

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   列出不等式

   把每个条件翻译成不等式；当量不能为负时，加上 $x\ge 0$ 和 $y\ge 0$。

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   画边界线

   把每个不等式当作等式来画出它的直线，每条线用两个清楚的点。

4. 4

   给可行域涂阴影

   在每个不等式里代入一个测试点（常用原点），给同时满足所有条件的区域 $R$ 涂阴影。

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   写出目标函数

   写明要优化的量，例如 $k=3x+2y$。

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   检验顶点

   两两联立边界线求出 $R$ 的顶点，再把每个顶点代入目标函数。

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   写出最优解

   选出使值最大（或最小）的顶点，写出该点及其对应的值。

• 不等号方向搞错（$\le$ 和 $\ge$），把直线错的一侧涂了阴影。
• 忘了隐藏的约束 $x\ge 0$ 和 $y\ge 0$，从而改变了区域的形状。
• 凭眼睛从图上读顶点坐标，而不是联立两条直线求出精确值。
• 只检验了部分顶点，或去检验内部的点，线性目标函数的最优值总在顶点上。
• 把文字翻译成不等式时，弄混了哪个变量是 $x$、哪个是 $y$。

最容易失分的一步，是列不等式和涂对一侧，方向一旦弄错，整个区域和答案都会跟着错。在一对一课堂上，我们的老师会陪你一句一句地把文字翻译过来，再用代入一个测试点的方法核对每一处阴影，让区域在开始优化之前就是对的。

我们也坚持联立直线求出精确的顶点，而不是从图上读。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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