Melakar kekangan dan mengoptimum dalam pengaturcaraan linear

Pengaturcaraan linear menjawab soalan yang sangat praktikal: diberi satu set had, pilihan manakah yang menjadikan sesuatu kuantiti sebesar atau sekecil mungkin? Sebuah bengkel mungkin bertanya berapa banyak dua jenis produk yang perlu dibuat untuk memaksimumkan keuntungan, tertakluk kepada had masa dan bahan.

Setiap had menjadi satu ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah $x$ dan $y$.

Kita lukis semua ketaksamaan pada satu set paksi dan lorek rantau tersaur, set titik yang memenuhi setiap kekangan serentak. Kuantiti yang hendak dimaksimum atau diminimumkan (keuntungan, kos, markah) ialah fungsi objektif, ungkapan linear seperti $k=3x+2y$.

Kerana objektif itu linear, nilai terbesar dan terkecilnya di seluruh rantau sentiasa berlaku di sudut (bucu), jadi kaedah ini berakhir dengan menguji bucu-bucu itu.

Gunakan kaedah ini apabila soalan memberi dua anu dan beberapa syarat yang dinyatakan sebagai 'sekurang-kurangnya', 'paling banyak', 'tidak lebih daripada', atau 'tidak kurang daripada', kemudian bertanya maksimum atau minimum sesuatu kuantiti. Perkataan 'keuntungan terbesar', 'kos terkecil', 'lorek rantau $R$', atau 'cari nilai maksimum bagi' ialah isyarat kuat.

Anda biasanya mula-mula menterjemah cerita ringkas kepada ketaksamaan, kemudian melakar. Jika masalah hanya ada satu pemboleh ubah, atau hanya meminta menyelesaikan persamaan dan bukan mengoptimumkan dalam suatu rantau, ia bukan soalan pengaturcaraan linear.

Kehadiran rantau untuk dilorek bersama kuantiti untuk dijadikan sebesar atau sekecil mungkin itulah yang menandakan topik ini.

1. 1

   Takrifkan pemboleh ubah

   Biar $x$ dan $y$ mewakili dua kuantiti anu, dengan menyatakan jelas apa yang diwakili oleh setiap satu.

2. 2

   Bentuk ketaksamaan

   Terjemah setiap syarat kepada ketaksamaan, dan sertakan $x\ge 0$ dan $y\ge 0$ apabila kuantiti tidak boleh negatif.

3. 3

   Lukis garis sempadan

   Anggap setiap ketaksamaan sebagai persamaan dan lukis garisnya, menggunakan dua titik jelas bagi setiap garis.

4. 4

   Lorek rantau tersaur

   Uji satu titik (selalunya asalan) dalam setiap ketaksamaan dan lorek rantau $R$ yang memenuhi semuanya.

5. 5

   Tulis fungsi objektif

   Nyatakan kuantiti untuk dioptimumkan, contohnya $k=3x+2y$.

6. 6

   Uji bucu

   Cari titik bucu $R$ dengan menyelesaikan pasangan garis, kemudian gantikan setiap satu ke dalam fungsi objektif.

7. 7

   Nyatakan optimum

   Pilih bucu yang memberi nilai terbesar (atau terkecil) dan nyatakan kedua-dua titik dan nilai itu.

• Tersilap arah ketaksamaan ($\le$ berbanding $\ge$) lalu melorek bahagian garis yang salah.
• Terlupa kekangan tersembunyi $x\ge 0$ dan $y\ge 0$, yang mengubah bentuk rantau.
• Membaca koordinat bucu dengan mata daripada graf dan bukan menyelesaikan dua garis serentak untuk nilai tepat.
• Menguji hanya sebahagian bucu, atau menguji titik dalaman, optimum objektif linear sentiasa terletak pada bucu.
• Mengelirukan pemboleh ubah mana yang $x$ dan mana yang $y$ ketika menterjemah cerita kepada ketaksamaan.

Langkah tempat markah tergelincir ialah membentuk ketaksamaan dan melorek bahagian yang betul, tersilap satu arah, seluruh rantau dan jawapan akan mengikutnya. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami menyelesaikan terjemahan bersama anda ayat demi ayat, kemudian menyemak setiap lorekan dengan menguji satu titik, supaya rantau itu betul sebelum sebarang pengoptimuman bermula.

Kami juga menegaskan menyelesaikan garis secara serentak untuk bucu tepat dan bukan membacanya daripada graf. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk melihat cara kami mengajar pengaturcaraan linear, hubungi kami di WhatsApp bagi mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.