处理等比数列

等比数列是一种数列，它的每一项都是把前一项乘以同一个固定的数得到的。这个固定的数叫做公比 $r$。

在 Add Math 里，凡是按固定倍数（而不是固定数量）增长或衰减的情况，都用等比数列来建模，例如赚取复利的钱、每个周期翻一倍的人口、每年价值跌到某个固定比例的机器，或是每次弹起都只达到上一次落下同一比例的皮球高度。

它与等差数列的区别很关键：等差数列是加上固定的量，所以按直线增长；等比数列是乘以固定的倍数，所以增长或缩小得越来越快。三条公式几乎涵盖了所有等比数列的问题。

第一条求任意一项，第二条把前 $n$ 项相加，第三条则在各项趋近于零时给出无穷相加的总和。

前 $n$ 项之和还有一个镜像形式 $S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$，是把第一种形式的分子与分母同乘以 $-1$ 得到的。两者数值相同，但当公比是真分数时，第二种形式让每个数都保持为正，所以对越来越小的等比数列更整洁。

把三种用途一眼看清，某一项、有限项之和、无穷和，你就能在动笔写下第一个数字之前，先把公式和题目对上号。

当一列数每一步都乘以相同的倍数、而不是加上固定的量时，就要用这个方法。做法是把相邻两项相除来检验：如果 $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$，这列数就是等比数列，而那个相同的比就是公比 $r$。

像“按固定百分率增加”、“翻倍”、“减半”、“每次弹起只达上一次的某个比例”这样的字眼，都指向等比数列。

如果题目提到一个不断累积、永不停止的总和，而各项又越来越小，那就是无穷和的信号，它只有在 $|r| < 1$ 时才成立。要提早判断你需要的是某一项、有限项之和，还是无穷和，因为每一种都要用不同的公式，而把它们弄混正是这个题目里最常见的失分方式。

考试常见的一种包装是百分率的增长或衰减。“每年增加 $20\%$”就是每一步乘以 $1.2$，所以 $r = 1.2$；“每年损失 $20\%$ 的价值”就是乘以 $0.8$，所以 $r = 0.8$。

把百分率翻译成乘数是第一件要做的事，因为一旦握住了 $r$，题目余下的部分就只是例行的代入。

公比不一定是整数。它可以是像 $\frac{1}{2}$ 这样的分数，表示每一步减半的量；也可以是像 $-2$ 这样的负数，使各项在正负之间来回摆动。

严格落在 $-1$ 和 $1$ 之间的公比，正是无穷和存在的情形，所以提早判断 $r$ 的大小，也就告诉你一道题是否有资格去求 $S_\infty$。拿不准时，就把前三四项写出来；数字并排一放，相乘的规律通常一目了然。

1. 1

   找出 a 与 r

   写下 $a$（首项），再用后一项除以前一项求出 $r$：$r = \frac{T_2}{T_1}$。

2. 2

   未知量要列方程

   若给出两项，把每一项都写成 $ar^{\,n-1}$，再把一条方程除以另一条，让 $a$ 约去、只剩 $r$。

3. 3

   先解 r，再求 a

   解出得到的方程求出 $r$，再代回其中一条项的方程求出 $a$。

4. 4

   选对公式

   求某一项用 $T_n$，求前 $n$ 项之和用 $S_n$，只有在 $|r| < 1$ 时才用 $S_\infty$。

5. 5

   代入并化简

   仔细代入数值，一行一行地把幂算出来，写出最后的数值。

6. 6

   检验

   用你的 $a$ 和 $r$ 列出几项，或代回某个已知项，确认答案合理。

• 在通项公式里用 $r^{n}$ 而不是 $r^{\,n-1}$，首项不需要乘 $r$，所以指数是 $(n-1)$。
• 求 $r$ 时用相减而不是相除；公比来自 $\frac{T_2}{T_1}$，而不是 $T_2 - T_1$。
• 在 $|r| \geq 1$ 时套用无穷和公式，而这时总和并不收敛到一个有限值。
• 漏掉负的公比：若各项正负交替，$r$ 是负数，幂的符号也随之改变。
• 把 $S_n$ 和 $T_n$ 搞混：求“和”是求总和，求“项”是求一个值。

等比数列的错误大多出在一个瞬间，学生像做等差数列那样用相减去求 $r$，或者在 $|r|$ 并不小于一时就套用无穷和。在一对一的课堂上，我们的老师会盯着你建立比和幂的那一处，在失误一出现时就纠正，让错误的直觉没有机会生根。

我们也要求你把“一条方程除以另一条”这一行写清楚，因为公比正是在这里被干净地求出，方法分也在这里拿到。当公比原来是分数或负数时，我们会把节奏放慢，反复练习符号和幂，直到它们变得自然。

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