Bekerja dengan janjang geometri

Janjang geometri ialah satu jujukan yang setiap sebutannya diperoleh dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan nombor tetap yang sama. Nombor tetap itu dipanggil nisbah sepunya $r$.

Dalam Add Math, janjang geometri digunakan untuk memodelkan apa-apa yang bertambah atau berkurang dengan faktor malar, bukannya dengan amaun malar, wang yang memperoleh faedah kompaun, populasi yang berganda setiap tempoh, nilai sebuah mesin yang jatuh kepada pecahan tetap setiap tahun, atau ketinggian lantunan bola yang mencapai perkadaran sama daripada jatuhan sebelumnya.

Perbezaan daripada janjang aritmetik penting: janjang aritmetik menambah amaun tetap, jadi ia bertambah secara garis lurus, manakala janjang geometri mendarab dengan faktor tetap, jadi ia bertambah atau mengecil dengan semakin laju. Tiga rumus meliputi hampir semua soalan janjang geometri.

Yang pertama mencari mana-mana satu sebutan, yang kedua menjumlahkan $n$ sebutan pertama, dan yang ketiga memberikan jumlah hasil tambah tak berkesudahan apabila sebutan mengecil menghampiri sifar.

Hasil tambah $n$ sebutan pertama juga mempunyai bentuk cermin, $S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$, yang diperoleh dengan mendarab pengangka dan penyebut versi pertama dengan $-1$. Kedua-duanya sama nilainya, tetapi versi kedua mengekalkan setiap nombor positif apabila nisbah sepunya ialah pecahan wajar, jadi ia pilihan yang lebih kemas bagi janjang geometri yang mengecil.

Mengetahui ketiga-tiga tujuan sepintas lalu, satu sebutan, hasil tambah terhingga, hasil tambah tak terhingga, membolehkan anda memadankan rumus dengan soalan sebelum menulis satu nombor pun.

Gunakan kaedah ini apabila senarai nombor didarab dengan faktor sama pada setiap langkah, bukannya ditambah dengan amaun tetap. Uji dengan membahagi sebutan berjiran: jika $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$, jujukan itu geometri dan nilai sepunya itulah $r$.

Perkataan seperti 'bertambah dengan peratusan tetap', 'berganda', 'separuh', atau 'setiap lantunan mencapai pecahan lantunan sebelumnya' semuanya menunjukkan janjang geometri.

Jika soalan menyebut jumlah yang terus terbina tanpa henti sementara sebutannya semakin kecil, itu isyarat untuk hasil tambah hingga infiniti, yang hanya sah apabila $|r| < 1$. Tentukan lebih awal sama ada anda memerlukan satu sebutan, hasil tambah terhingga, atau hasil tambah tak terhingga, kerana setiap satu memerlukan rumus berbeza dan mengelirukannya ialah cara paling lazim kehilangan markah dalam topik ini.

Satu bentuk lazim dalam peperiksaan ialah pertumbuhan atau susutan peratusan. 'Bertambah $20\%$ setiap tahun' bermaksud mendarab dengan $1.2$ pada setiap langkah, jadi $r = 1.2$; 'kehilangan $20\%$ nilainya setiap tahun' bermaksud mendarab dengan $0.8$, jadi $r = 0.8$.

Menterjemah peratusan kepada pendarab ialah perkara pertama sekali yang perlu dilakukan, kerana setelah anda memegang $r$, selebihnya soalan itu hanya penggantian rutin.

Nisbah sepunya tidak semestinya nombor bulat. Ia boleh menjadi pecahan seperti $\frac{1}{2}$ bagi kuantiti yang menjadi separuh setiap langkah, atau negatif seperti $-2$ bagi sebutan yang berselang-seli tanda positif dan negatif.

Nisbah yang terletak antara $-1$ dan $1$ secara tegas ialah kes tepat di mana hasil tambah hingga infiniti wujud, jadi menilai saiz $r$ lebih awal turut memberitahu anda sama ada sesuatu soalan layak meminta $S_\infty$ langsung. Jika ragu, tuliskan tiga atau empat sebutan pertama; corak pendaraban biasanya jelas apabila nombor itu berada bersebelahan.

1. 1

   Kenal pasti a dan r

   Tuliskan $a$ (sebutan pertama) dan cari $r$ dengan membahagi mana-mana sebutan dengan sebutan sebelumnya: $r = \frac{T_2}{T_1}$.

2. 2

   Bentuk persamaan jika a atau r tidak diketahui

   Jika dua sebutan diberi, tulis setiap satu sebagai $ar^{\,n-1}$, kemudian bahagikan satu persamaan dengan yang lain supaya $a$ terbatal dan hanya $r$ tinggal.

3. 3

   Selesaikan r, kemudian a

   Selesaikan persamaan yang terhasil untuk $r$, kemudian gantikan semula ke dalam satu persamaan sebutan untuk mencari $a$.

4. 4

   Pilih rumus yang betul

   Gunakan $T_n$ untuk satu sebutan, $S_n$ untuk hasil tambah $n$ sebutan, dan $S_\infty$ hanya apabila $|r| < 1$.

5. 5

   Gantikan dan permudahkan

   Masukkan nombor dengan teliti, kira kuasa baris demi baris, dan nyatakan nilai akhir.

6. 6

   Semak

   Senaraikan beberapa sebutan dengan $a$ dan $r$ anda, atau gantikan semula ke dalam sebutan yang diberi, untuk mengesahkan jawapan itu munasabah.

• Menggunakan $r^{n}$ dan bukan $r^{\,n-1}$ dalam rumus sebutan, sebutan pertama tidak memerlukan pendaraban dengan $r$, jadi kuasanya ialah $(n-1)$.
• Menambah dan bukan membahagi ketika mencari $r$; nisbah sepunya datang daripada $\frac{T_2}{T_1}$, bukan $T_2 - T_1$.
• Menggunakan rumus hasil tambah hingga infiniti apabila $|r| \geq 1$, di mana hasil tambah tidak menumpu kepada nilai terhingga.
• Terlepas nisbah sepunya negatif: jika sebutan berselang-seli tandanya, $r$ negatif dan kuasanya bertukar tanda sewajarnya.
• Mengelirukan $S_n$ dengan $T_n$: soalan 'hasil tambah' mahukan jumlah, soalan 'sebutan' mahukan satu nilai.

Kebanyakan kesilapan janjang geometri berpunca daripada satu saat, pelajar menolak untuk mencari $r$ seolah-olah ia janjang aritmetik, atau memilih hasil tambah hingga infiniti sedangkan $|r|$ tidak kurang daripada satu. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati tepat di mana anda membentuk nisbah dan kuasa, lalu membetulkan tergelincir itu sebaik ia muncul, supaya naluri salah tidak berakar.

Kami juga menyuruh anda menulis baris 'bahagikan satu persamaan dengan yang lain' dengan jelas, kerana di situlah nisbah sepunya ditemui dengan kemas dan di situlah markah kaedah diperoleh. Apabila nisbah ternyata pecahan atau nombor negatif, kami perlahankan langkah dan berlatih tanda serta kuasa sehingga ia terasa semula jadi.

Setiap guru di spmaddmath.com.my berpengalaman. Kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, mengikut rentak anda.