求直线方程

这个方法把几何信息转化成一条直线的代数方程，通常写成斜截式 $y = mx + c$，或一般式 $ax + by + c = 0$。给出的信息可以是直线上的两个点、一个点加斜率，或一个点加上新直线与之平行或垂直的另一条直线。

它回答的问题包括“求连接 $A$ 和 $B$ 的直线方程”、“求经过 $P$ 且斜率为 $2$ 的直线方程”，或“求 $AB$ 的垂直平分线方程”。一旦有了方程，你就能求出它与坐标轴的截距、判断某点是否在线上，或求它与另一条直线的交点，所以它是整个坐标几何章节里最常复用的技能之一。

当题目要你“求直线方程”，并且给了足够信息来同时确定它的方向（斜率）和位置（它经过的一个点）时，就用这个方法。常见的信号有：直线上两个命名的点、一个点加上给定的斜率，或一个点加上平行或垂直的条件，例如“平行于 $y = 3x + 1$”或“垂直于 $AB$”。

如果只给斜率而没有点，直线还无法固定，要在题目里找出那个点。当题目提到平行或垂直的直线时，先读出那条直线的斜率，再作转换：平行时保持相同数值，垂直时取负倒数 $m_2 = -\frac{1}{m_1}$，然后再代入一个点。

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   弄清题目给了什么

   两个点，或一点加斜率，或一点加一条平行/垂直的直线。

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   求斜率

   由两点用 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。平行线用相同斜率；垂直线用 $m_2 = -\frac{1}{m_1}$。

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   选一个点

   选一个直线经过的点 $(x_1, y_1)$，有两点时任选其一都行。

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   代入点斜式

   用你的斜率和所选的点写出 $y - y_1 = m(x - x_1)$。

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   展开并整理

   把括号乘开，合并同类项整理成 $y = mx + c$；若题目要求，则整理成一般式 $ax + by + c = 0$。

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   用另一个点检验

   把第二个已知点代入你的方程；两边应当相等。

• 斜率的分子和分母坐标相减的顺序不一致，例如写成 $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$，导致符号相反。
• 垂直斜率算错：$3$ 的负倒数是 $-\frac{1}{3}$，不是 $-3$ 或 $\frac{1}{3}$。
• 忘了把 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 里的括号展开，或坐标为负时漏掉负号。
• 题目要 $y = mx + c$ 或一般式，却把答案停在 $y - y_1 = m(x - x_1)$。
• 做到一半又改换哪个点当 $(x_1, y_1)$，斜率虽不变，但你必须保持一致。

最容易丢分的一步是斜率的符号，学生把 $x$ 按一个顺序相减、$y$ 又按另一个顺序，整条直线就朝错误方向倾斜。在一对一的课堂上，我们的老师会看着你写出 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，并要求你在填数字之前先标好 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，让上下相减保持一致。

碰到垂直的题目，我们会在负倒数这一步停下来，直到它变成本能。因为 SPM Add Math 采用分析式给分，我们也会让你看到：即使后面算错改变了 $c$，一条干净的斜率算式仍能拿到方法分。

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