按比例分线段

这个方法求把线段 $AB$ 按给定比例 $m:n$ 分开的那个点 $P$ 的坐标。它用的是定比分点公式，本质上是两个端点的加权平均。

它回答的问题包括“点 $P$ 把 $AB$ 按 $2:1$ 分开，求它的坐标”，或“点 $(5, 4)$ 把 $AB$ 按 $2:1$ 分开，求 $B$”。中点公式只是比例为 $1:1$ 的特例，所以这一个方法也把中点包括进去了。

它是一项出现频率很高的小技能，既会单独出现，也会嵌在关于平行四边形、中线和三等分点的较长坐标几何题里。

当题目提到某点“按 $m:n$ 分”一条线段，或用到“内分点”、“三等分 $AB$”、“分 $AB$ 使 $AP:PB = 2:3$”这类说法时，就用这个方法。如果比例是 $1:1$，那个点就是中点，同一个公式仍然适用。

你也可以反过来用这个公式。如果给了分点、一个端点以及比例，就把已知代入，解出缺失端点的坐标。

关键的第一步永远是按正确的顺序读比例，$AP:PB$，从第一个命名的点 $A$ 量起，因为把 $m$ 和 $n$ 弄反会把 $P$ 移到错误的位置。

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   标出端点

   按比例度量的顺序，设 $A(x_1, y_1)$ 为第一点、$B(x_2, y_2)$ 为第二点。

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   把比例读成 m : n

   当 $AP:PB = m:n$，$m$ 是靠近 $A$ 的那部分，$n$ 是靠近 $B$ 的那部分。

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   写出定比分点公式

   $P = \left(\frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)$：第一点配权 $n$，第二点配权 $m$。

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   代入数字

   填入坐标和比例数值，分母保持 $m + n$。

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   分别化简坐标

   把 $x$ 坐标和 $y$ 坐标各自算出，写出 $P$。

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   检验位置是否合理

   确认 $P$ 落在 $A$ 与 $B$ 之间，且更靠近比例所指的那个端点。

• 在公式里把 $m$ 和 $n$ 弄反，记住第一点 $A$ 配权 $n$，第二点 $B$ 配权 $m$。
• 把比例读反：$AP:PB = 2:1$ 不等于 $PB:AP = 2:1$。
• 把分母只写成 $m$ 或 $n$，而不是 $m + n$。
• 忘了中点就是比例 $1:1$，反而用了另一个（错误的）公式。
• 端点坐标为负时出现符号错误，尤其在分子里。

这里几乎所有丢分都来自同一处：把比例数字配错了点。学生凭直觉把 $A$ 乘以 $m$，因为 $m$ 写在前面，可公式其实是给 $A$ 配权 $n$。

在一对一的课堂上，我们的老师给你一个可靠的习惯，每次都用固定的排布写下 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 和 $AP:PB = m:n$，然后直接从中读出权重。我们也要你做上面那种“占全程几分之几”的合理性检验，几秒钟就能抓出弄反的比例。

因为 SPM Add Math 采用分析式给分，正确代入的公式即使最后算错，也能拿到方法分。spmaddmath.com.my 的每一位老师都经验丰富。

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