联系位移、速度与加速度

在直线运动学里，一个质点沿直线运动，它相对于定点 $O$ 的位移 $s$ 以时间 $t$ 的函数给出。这个方法把描述运动的三个量联系起来：位移 $s$、速度 $v$ 和加速度 $a$。

把它们联系起来的正是微积分。速度度量位移变化的快慢，所以 $v=\frac{ds}{dt}$。

加速度度量速度变化的快慢，所以 $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$。要反过来，从加速度回到速度，或从速度回到位移，就用积分，并用题目给的条件求出常数。

有了这一套框架，你就能回答常见的问题：某一瞬间的速度、质点瞬时静止的时刻、某一时刻的加速度，以及从 $v$ 的正负判断运动方向。

只要题目描述一个质点沿直线运动，并给出 $s$、$v$ 或 $a$ 之一作为 $t$ 的函数时，就用这个方法。「相对于 $O$ 的位移」「经过 $t$ 秒后的速度」「瞬时静止」「瞬间停止」或「最大速度」等说法都是信号。

先判断方向。如果给的是位移，要求速度或加速度，就求导（求一次得 $v$，求两次得 $a$）。

如果给的是加速度或速度，要求速度或位移，就积分，并用题目所给的初始值确定常数。关键说法对应方程：「静止」表示 $v=0$；「速度最大或最小」表示 $a=0$；「回到 $O$」表示 $s=0$。

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   读清函数

   写下已知，通常是 $s$ 作为 $t$ 的函数，以及所求。

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   求导得速度

   求 $v=\frac{ds}{dt}$。

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   再求导得加速度

   求 $a=\frac{dv}{dt}$。

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   翻译条件

   「静止」 → 令 $v=0$；「速度最大/最小」 → 令 $a=0$；'在 $O$' → 令 $s=0$。

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   求解或代入

   解出关于 $t$ 的方程，或代入给定的 $t$ 求值。

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   解释正负与单位

   速度为负表示朝负方向运动；写出单位，如 m/s 和 m/s²。

• 把方向弄反：从 $s$ 到 $v$ 到 $a$ 要求导；反过来要积分。做错方向是常见失误。
• 「静止」时令 $s=0$ 而不是 $v=0$。「静止」始终表示速度为零。
• 忘了速率是速度的大小，所以 $-3$ m/s 的速度对应 $3$ m/s 的速率。
• 积分时忘了积分常数，以及用来确定它的初始条件。
• 漏写单位，或把加速度写成 m/s 而不是 m/s²。

学生最常做错的一步，是把文字翻译成方程，读到「静止」却令 $s=0$ 而不是 $v=0$，或者该积分时却去求导。在一对一课堂上，我们的老师会陪你反复操练这本小小的“说法词典”，让「静止」「最大速度」'回到 $O$'各自立刻触发正确的方程。

我们也把方向，往下求导、往上积分，写在每道题旁边，让它成为本能。因为解题要一行一行写出来，每一步都能拿到它的方法分。

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