如何计算定积分

定积分在积分号上带有两个限，算出来是一个数值，而不是一个函数。不定积分问的是“哪个函数求导后得到它？”

，定积分问的则是“在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间，确切的值是多少？” 这个值就是该区间内曲线与 $x$ 轴之间的有向面积。

在 Add Math 里，你用它来求曲线下的面积、旋转体的体积，以及由变化率求某量的总变化。

让它成立的规则是微积分基本定理：先积分得到 $F(x)$，再算上限与下限之间的差。

当积分号带有下限和上限时，或当题目要从积分中求出一个数值时，“计算”“求面积”“求…的确切值”，就用这个方法。若没有限，那是不定积分，就必须保留 $+c$。

信号就是积分号上的那对数：$\int_{a}^{b}$。一看到它们，就规划好三个动作，积分、代入两个限、相减。

由于答案是一个数，你可以也应当检查它是否合理：面积通常为正，而一个简单多项式在短区间上的定积分应当得出一个整齐的值。由于 Add Math 采用分析式给分，写出积分后的表达式和代入限，即使最后的算术出错，仍能拿到方法分。

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   把函数积分

   用 $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ 逐项积分 $f(x)$。定积分不需要 $+c$；它在相减时会抵消。

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   写出带限的方括号

   把结果放进方括号，并标上下限，写成 $\big[F(x)\big]_{a}^{b}$。

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   代入上限

   把 $x$ 换成上面的值 $b$，得到 $F(b)$。

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   代入下限

   把 $x$ 换成下面的值 $a$，得到 $F(a)$。

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   相减

   计算 $F(b)-F(a)$，保留括号，让为负的 $F(a)$ 变成加。

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   化简

   把算术算成一个确切的数值，若情境需要就写出单位。

• 给定积分加 $+c$，它总会抵消，所以不应出现在最后一行。
• 相减方向弄反；规则是 $F(b)-F(a)$，上限减下限。
• 在 $F(b)-F(a)$ 里漏掉括号，使为负的 $F(a)$ 以错误的符号被减，这里 $4-(-2)$ 是 $6$，不是 $2$。
• 把积分做成了求导；幂应升高一次，而不是降低。
• 先代入限再积分，把两个运算混在一起。

我们见到代价最大的失误，就是相减那一行的符号错误，学生写成 $4-2$ 而不是 $4-(-2)$，在一份本来完美的解答的最后一步丢了分。在一对一的课堂上，我们的老师让你每一次都在 $F(a)$ 外面保留括号，并在相减前先把“上限减下限”说出口，让这个习惯在考试的压力下也能护住你。

我们也会检查你不会把一个多余的 $+c$ 带进定积分。spmaddmath.com.my 的每一位老师，都经验丰富。

课程在线上进行，以英语授课，按你掌握这个方法的快慢来安排节奏。