如何求复合函数

复合函数把两个函数合成一个新函数，办法是用其中一个函数的输出当作另一个函数的输入。在 Add Math 里，我们把「先 $g$ 后 $f$」的复合写成 $fg(x)$，它表示 $f(g(x))$，内函数 $g$ 先起作用，然后 $f$ 再作用在它的结果上。

复合函数 $fg$ 是一个真正独立的新函数，有自己的公式和图形，而不是两个函数的乘积。这个方法能回答这类题目：「已知 $f$ 和 $g$，求 $fg(x)$」「求 $gf(3)$ 的值」，或「已知 $fg(x)$，求其中一个原函数」。

它是中四《函数》这一章的核心技能，也是反函数的基础，因为一个函数和它的反函数复合后会把输入原样送回。

把复合弄懂，你才能自信地读懂这套记号。两个函数并排写、中间没有运算符号，永远表示复合，所以 $fg$ 绝不是「$f$ 乘 $g$」。

早点把这一点分清，整章《函数》都会轻松许多。

当题目给出两个函数，要你求写成 $fg(x)$、$gf(x)$、$f^2(x)$ 的合成函数，或要你求 $fg(2)$ 这类叠套式子的值时，就该用复合。信号是：先给两个函数定义，再要求把一个函数套进另一个里面。

此外，如果题目直接给出 $fg(x)$，要你反过来求其中一个原函数，或要你解 $fg(x)=k$ 这样的方程，也要用复合。由于《函数》是整份大纲的开篇，复合又在试卷一和试卷二里都会出现，能快速认出记号可以省下不少时间。

只要看到两个函数字母连在一起、中间没有加减乘号，就把它读成复合，并判断哪个函数先起作用。

按这个顺序做，代入就不会出错：

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   分清内函数与外函数

   在 $fg(x)$ 里，内函数是 $g$（先起作用），外函数是 $f$。字母从右往左读。

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   把外函数写出来

   把外函数的规则写清楚，例如 $f(\square)=2\square+1$，这样你能看清输入要代进的每一个位置。

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   把整个内函数代入

   把外函数的每一个输入位置都换成整个内函数表达式，并保留在括号里。

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   展开并化简

   把括号乘开、合并同类项，直到得到一个关于 $x$ 的整洁表达式。

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   若要求数值就代入

   求 $fg(2)$ 这类值时，要么把 $x=2$ 代进复合函数，要么由里到外算：先算 $g(2)$，再代进 $f$。

先自己试一试，再逐行对照解答。

注解里那个由里到外的检验，值得养成习惯。先算 $g(2)$ 再代进 $f$，是通往同一答案的另一条完全独立的路；两种算法一旦对不上，你立刻就知道某处的括号或符号出了岔。

• 把 $fg(x)$ 读成 $f(x)\times g(x)$。它表示 $f(g(x))$，是代入，绝不是乘积。
• 把顺序弄反。在 $fg(x)$ 里 $g$ 先起作用，所以要把 $g$ 代进 $f$，而不是反过来。
• 只代入部分 $x$。外函数的每一个输入位置都必须换成整个内函数表达式。
• 内函数没加括号，例如写成 $2x^2-3+1$ 而不是 $2(x^2-3)+1$。
• 以为 $fg=gf$。它们通常是不同的函数，所以永远算题目真正要的那一个。

复合题里丢掉的分，大多来自一个判断，哪个函数先起作用，以及紧接着那一行漏了括号。在一对一的课堂上，我们的老师会盯着你写 $fg(x)$，一旦错的函数被套进去就立刻喊停，趁坏习惯还没定型就纠正过来。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么 $g$ 先起作用」的人，而不是只叫你死记。课程在线进行、以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

我们还会训练由里到外的检验，让小失误不会拖到最后一行。