如何计数组合

许多 Add Math 题目会问「有多少种方法可以选出……」一个群组，而选取的顺序并不重要。选 3 名学生组成委员会、从书架上选 2 本书、或从试卷里选 4 道题来作答，都是组合：群组 $\{A,B,C\}$ 和群组 $\{C,B,A\}$ 完全是同一个群组。

靠一一列举来数很快就变得不可能，所以我们使用组合公式 ${}^{n}C_{r}$，读作'n 选 r'。

它准确地告诉我们：从 $n$ 个不同的对象中，可以选出多少个不同的、不计顺序的 $r$ 个一组的选法。这个想法也支撑着中五后面的二项式定理和二项分布，所以把组合计数练扎实，其价值远远超过这一个课题，并让整章都变得更容易预料。

只要题目是关于选取一个群组，而群组内部的顺序不重要，就用组合。提示词包括「选」、「选取」、「组成委员会」、「一支队伍」、「一个小组」、「有多少种选法」等。

与之相对的是排列：当排序、排名、或排成一行就座确实重要时，个数是 ${}^{n}P_{r}$。

一个快速判断法：如果把选出的两个对象对调后会得到一个确实不同的结果，那就是排列；如果对调后仍是同一个选法，那就是组合。还要留意像「某人必须入选」或「某人不可入选」这类附加条件，它们改变的是代入公式的数字，而不是方法本身。

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   确认顺序不重要

   判断题目是选取一个群组（组合），还是把对象按顺序排列（排列）。

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   认出 n 和 r

   $n$ 是可供选取的对象总数；$r$ 是要选出的个数。

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   写出公式

   先写下 ${}^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 再代入。

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   代入数值

   把 $n$ 和 $r$ 的值代入公式。

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   约分并化简

   先约去较大的阶乘，再把剩下的相乘，不要把每个阶乘都完整展开。

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   处理附加条件

   若某些对象必须入选，先把它们固定下来，再从余下的里选其余的；若某些不可入选，就把它们从 $n$ 中去掉。

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   写出整数答案

   选法的个数一定是正整数。

• 题目其实是组合，却用了 ${}^{n}P_{r}$（计顺序），这会把每个群组多算 $r!$ 倍。
• 忘了对称性 ${}^{n}C_{r}={}^{n}C_{n-r}$，其实用它能让计算短很多。
• 遇到「必须入选」的条件时，只减小了 $n$，却忘了同时减小 $r$。
• 在计算器上把阶乘完整展开而出错，其实应先约去较大的阶乘。
• 本该相乘的独立选择却相加了，两次选取之间的「并且」通常意味着相乘。

最常绊倒学生的一步，就是判断顺序是否重要，许多人出于习惯就用 ${}^{n}P_{r}$，悄悄地把答案多算了。在一对一课堂上，我们的老师会给你一小组混在一起的「选取」和「排列」题，看你走哪条路，并在判断出错的那一刻立刻纠正，让这种推理变成自然反应。

我们还会教你如何干净地约去阶乘，使解题过程整齐、便于一行一行地给分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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