Cara mengira gabungan

Banyak soalan Add Math bertanya 'berapa banyak cara kita boleh memilih...' sesuatu kumpulan yang tertib pemilihannya tidak penting.

Memilih 3 pelajar untuk membentuk jawatankuasa, memilih 2 buku daripada rak, atau memilih 4 soalan untuk dijawab semuanya ialah gabungan: kumpulan $\{A,B,C\}$ sama sahaja dengan kumpulan $\{C,B,A\}$. Mengira dengan menyenaraikan setiap kemungkinan cepat menjadi mustahil, jadi kita gunakan rumus gabungan ${}^{n}C_{r}$, dibaca 'n pilih r'.

Ia memberitahu kita dengan tepat berapa banyak pemilihan tak bertertib $r$ item yang berbeza boleh dibuat daripada $n$ item berbeza. Idea yang sama menyokong teorem binomial dan taburan binomial kemudian dalam Tingkatan 5, jadi kefahaman yang kukuh tentang mengira gabungan berbaloi jauh melangkaui topik ini sahaja dan membuat keseluruhan bab terasa lebih mudah dijangka.

Gunakan gabungan apabila soalan berkaitan memilih sesuatu kumpulan dan tertib dalam kumpulan itu tidak penting. Perkataan isyarat termasuk 'pilih', 'bentuk jawatankuasa', 'satu pasukan', 'satu kumpulan', atau 'berapa cara untuk memilih'.

Bandingkan pula dengan pilih atur, iaitu apabila menyusun, mengatur tertib, atau mendudukkan dalam satu baris memang penting, di situ bilangannya ialah ${}^{n}P_{r}$.

Ujian pantas: jika menukar dua item yang dipilih menghasilkan keputusan yang benar-benar berbeza, itu pilih atur; jika pertukaran itu memberi pemilihan yang sama, itu gabungan. Perhatikan juga syarat tambahan seperti 'seorang tertentu mesti disertakan' atau 'tidak boleh disertakan', yang mengubah nombor yang kita masukkan ke dalam rumus, bukan kaedahnya.

1. 1

   Pastikan tertib tidak penting

   Tentukan sama ada soalan tentang memilih kumpulan (gabungan) atau menyusun item mengikut tertib (pilih atur).

2. 2

   Kenal pasti n dan r

   $n$ ialah bilangan item yang ada untuk dipilih; $r$ ialah berapa banyak yang dipilih.

3. 3

   Tulis rumus

   Nyatakan ${}^{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ sebelum menggantikan.

4. 4

   Gantikan nilai

   Masukkan nilai $n$ dan $r$ ke dalam rumus.

5. 5

   Batalkan dan permudahkan

   Batalkan faktorial yang lebih besar dahulu, kemudian darab yang tinggal, jangan kembangkan setiap faktorial sepenuhnya.

6. 6

   Uruskan sebarang syarat

   Jika item tertentu mesti disertakan, tetapkannya dahulu dan pilih yang selebihnya daripada yang tinggal; jika ada yang mesti dikecualikan, buangnya daripada $n$.

7. 7

   Nyatakan jawapan nombor bulat

   Bilangan pemilihan sentiasa nombor bulat positif.

• Menggunakan ${}^{n}P_{r}$ (tertib penting) sedangkan soalan sebenarnya gabungan, ini terlebih kira setiap kumpulan sebanyak faktor $r!$.
• Terlupa simetri ${}^{n}C_{r}={}^{n}C_{n-r}$, yang boleh memendekkan pengiraan.
• Dengan syarat 'mesti disertakan', mengurangkan hanya $n$ tetapi terlupa mengurangkan $r$ juga.
• Mengembangkan faktorial penuh pada kalkulator lalu tersilap, sedangkan lebih baik membatalkan faktorial yang lebih besar dahulu.
• Menambah keputusan sedangkan pilihan bebas patut didarab, 'dan' antara dua pemilihan biasanya bermaksud darab.

Langkah tunggal yang paling kerap menjatuhkan pelajar ialah menentukan sama ada tertib penting, ramai menggunakan ${}^{n}P_{r}$ kerana tabiat lalu terlebih kira secara senyap. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memberi anda set pendek soalan campuran 'pilih' dan 'susun' serta memerhati laluan yang anda ambil, membetulkan keputusan pada saat ia tersilap supaya penaakulan menjadi automatik.

Kami juga menunjukkan cara membatalkan faktorial dengan kemas, yang memastikan kerja teratur dan mudah disemak baris demi baris. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk melihat cara kami mengajar gabungan, hubungi kami di WhatsApp bagi mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.