如何计算综合指数

综合指数把若干商品的价格指数合并成一个数字，用来描述总体价格的变化，可以是一篮子商品、一件产品的各种原料，或一个家庭的开支。因为有些商品比别的重要，每个指数 $I_{i}$ 都乘以权重 $w_{i}$，再取加权平均：$\bar{I} = \frac{\sum I_{i} w_{i}}{\sum w_{i}}$。

权重可以用数量、比或百分比给出；只有它们的比例才重要。它回答的问题包括“求三种原料的综合指数”或“求一篮子商品的总体价格指数”。

综合指数 $132$ 表示整篮子的成本是基准年的 $132\%$，上涨 $32\%$。每个单项指数通常先由价格指数那一步求出。

当题目列出若干商品，每件都有自己的价格指数（或有足够数据求出来），并附带权重，要求一个总体数字时，就用综合指数。信号包括“综合指数”、“加权指数”、一张有价格指数和权重两列的表，或像“按 $4 : 3 : 3$ 的比”这样的说法。

如果只给出价格，先把每件商品的价格化为价格指数，再加权合并。注意以比给出的权重，你可以直接用比中的数字作为 $w_{i}$，因为任何公因数都会在分子 $\sum I_{i} w_{i}$ 和分母 $\sum w_{i}$ 之间约掉。

这一步把整章的功夫汇成一个数，所以是试卷里较长的结构式题目的常客。

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   求出每个价格指数

   若未给出，先算每件商品的 $I_{i} = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100$。

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   列出权重

   写出每件商品的权重 $w_{i}$；像 $4 : 3 : 3$ 这样的比可以直接用。

3. 3

   指数乘权重

   作出每个乘积 $I_{i} w_{i}$。

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   把乘积相加

   计算 $\sum I_{i} w_{i}$，即加权指数之和。

5. 5

   把权重相加

   计算 $\sum w_{i}$，即总权重。

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   相除

   综合指数是 $\bar{I} = \frac{\sum I_{i} w_{i}}{\sum w_{i}}$。

7. 7

   解释

   与 $100$ 比较：超过 $100$ 的部分就是总体上涨的百分比。

• 忘了加权，取普通平均 $\frac{120 + 130 + 150}{3}$，而不是用权重。
• 用商品件数去除，而不是用 $\sum w_{i}$。
• 把权重彼此相乘，或做 $I_{i} + w_{i}$ 相加，而不是作乘积 $I_{i} w_{i}$。
• 得出的综合指数落在各单项指数的范围之外，它必须介于最小和最大之间。
• 过早对每个乘积取近似，使总和偏离精确值。

最丢分的错误是丢掉权重，学生把三个指数平均后除以 $3$，忽略了各商品的重要程度并不相同。在一对一的课堂上，我们的老师把过程排成一张小表：一列 $I_{i}$、一列 $w_{i}$、一列乘积 $I_{i} w_{i}$，这样分子 $\sum I_{i} w_{i}$ 和分母 $\sum w_{i}$ 都能直接读出。

我们以范围检验收尾，综合指数必须落在最小和最大指数之间，这能立刻抓出差错。因为 SPM Add Math 采用分析式给分，只要正确列出 $\frac{\sum I_{i} w_{i}}{\sum w_{i}}$，即使某个乘积加错也已经拿到方法分。

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