求曲线下面积

定积分度量的是在选定区间内，被曲线与 $x$ 轴夹住的那块区域的面积。这个方法把那个几何想法，一块用简单图形算不出来的曲边区域的面积，变成你能用积分精确算出的运算。

在 Add Math 里，这是积分这一章的招牌应用。典型题目给出一条曲线 $y=f(x)$ 和两条竖直边界 $x=a$ 与 $x=b$，要你求由曲线、$x$ 轴和这些直线围成的面积。

面积就是定积分 $\int_{a}^{b}y\,dx$。你对函数积分，代入上限和下限，再相减。

因为它直接建立在多项式积分之上，把幂法则掌握牢固，这个方法就又快又可靠。

当题目要求由曲线、$x$ 轴和两条竖直线围成的区域的面积，或要求'曲线与 $x$ 轴在 $x=a$ 与 $x=b$ 之间所围的面积'时，就用这个方法。已经写好上下限的定积分是同样的信号。

先检查曲线在整个区间上是否都在 $x$ 轴上方。若是，积分直接给出面积。

若区域有一部分在轴下方，那一段的积分会算出负值，所以要在曲线与轴相交的点把区间分开，取每一块的大小。若区域是由 $y$ 轴界定的，则对 $y$ 积分，但这一章最常见的情形，是求在 $x$ 轴上方曲线下的面积。

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   认出区域

   留意曲线、$x$ 轴，以及两个上下限 $x=a$ 和 $x=b$；画个草图会有帮助。

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   列出积分

   把面积写成 $\int_{a}^{b}y\,dx$，配上正确的上下限。

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   积分

   用幂法则对 $y$ 逐项积分；定积分不要加 $c$。

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   代入上下限

   把上限 $b$ 和下限 $a$ 代入积分后的式子。

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   相减

   计算 $F(b)-F(a)$。

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   写出面积

   把答案写成正的面积，并带上平方单位。

• 给定积分加了 $+c$。常数在 $F(b)-F(a)$ 中会抵消，所以不写。
• 先代下限，或者减反了方向：永远是 $F(b)-F(a)$。
• 以为不可能出现负答案而忽略符号；在 $x$ 轴下方的区域会给出负积分，所以要分段并取每块的大小。
• 把上下限代入 $y$，而不是代入积分后的式子 $F(x)$。
• 忘了单位，面积要用平方单位表示。

悄悄让人丢分的一步是边界：定对上下限，并判断区域是否探到 $x$ 轴下方。在一对一课堂上，我们的老师会让每道面积题都从一张草图开始，让你在积分前先看清区域，再决定要不要分段。

我们也把方括号记法和 $F(b)-F(a)$ 的相减固定成一套流程，粗心的符号错误通常正是在这里溜进来的。因为考卷按步给分，一个列得清楚的积分即使某个数字出错也照样得分。

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