如何进行向量加减

这个方法通过加或减，把两个或多个向量合并成一个向量。在笛卡尔形式 $a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$，或列向量形式 $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$中，你只需把对应的分量相加或相减。

从几何上看，加法遵循三角形法则（把向量首尾相接，再连接两端），而减法不过是加上它的负向量，$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b})$。它回答的问题包括“求 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$”、“求合向量”，或“已知位置向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$，用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\overrightarrow{AB}$”。

它是整个向量章节赖以建立的基础，合向量、共线、比例和大小都从这里开始。

当向量以分量形式或位置向量给出，题目要求和、差、合向量或一条有向线段时，就用这个方法。信号包括“求 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$”、“两向量的合向量”、“用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\overrightarrow{AB}$”，或一幅首尾相接的箭头图。

当题目给出从原点 $O$ 出发的位置向量时，两点之间任意一条有向线段都是一次减法：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$。正确读懂这一点，终点减起点，决定了你的答案指向是否正确。

一旦把目标写成已知向量的和或差，剩下的就是逐分量的算术。

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   把每个向量写成分量形式

   把每个向量写成 $a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$（或列向量），使 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 部分对齐。

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   决定是加还是减

   求合向量就相加。求有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 就用 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，终点减起点。

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   合并 i 分量

   把 $\mathbf{i}$ 前面的数字相加或相减，注意符号。

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   合并 j 分量

   对 $\mathbf{j}$ 前面的数字做同样处理；减去一个负数就是加。

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   写出单一结果

   把答案写成一个向量 $p\mathbf{i} + q\mathbf{j}$（或列向量）。

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   用三角形法则检验

   对线段，确认 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$。

• 把 $\mathbf{i}$ 分量与 $\mathbf{j}$ 分量合并在一起，两个方向必须完全分开。
• 减去负数时出现符号错误：$2 - (-4) = 6$，不是 $-2$。
• 写成 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$，方向就反了；它是终点减起点，$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$。
• 某个分量为零时把该项漏掉，而没有明确写出来。
• 中途混用列向量和 $\mathbf{i}$–$\mathbf{j}$ 记法，把计算搞乱。

唯一最让学生栽跟头的一步是减法的方向，本该写 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 求 $\overrightarrow{AB}$，却写成 $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$，结果每个符号都反了。在一对一的课堂上，我们的老师给你一句固定的话“终点减起点”，并要求你在动手之前先把它写在每一条有向线段旁边。

我们把 $\mathbf{i}$ 部分和 $\mathbf{j}$ 部分分成两列排好，使 $2 - (-4)$ 绝不会悄悄变成 $-2$，最后再做你上面看到的三角形法则检验。因为 SPM Add Math 采用分析式给分，只要正确列出 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，即使后面符号出错也已经拿到方法分。

请注意课程以英语授课，虽然 SPM 试卷本身是以双语出题的。spmaddmath.com.my 的每一位老师都经验丰富。

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