KBAT：导航问题中的向量

Q: 为什么渡河时间只用向北的速率？

河是沿北向渡过的，所以只有船速度的北向分量才把它从一岸带到另一岸。这里该分量是 888 km h−1^{-1}−1，河宽 444 km，所以时间为 48=0.5\tfrac{4}{8}=0.584=0.5 小时。向东的水流对渡河本身既不帮忙也不阻碍，它只在这同一段时间里把船带向下游。

Q: 怎么把分量化成方位角？

方位角从正北顺时针量起。有了东向分量和北向分量，用 tan⁡θ=东北\tan\theta=\tfrac{\text{东}}{\text{北}}tanθ=北东 求出从正北向东的角。这里 tan⁡θ=68=0.75\tan\theta=\tfrac{6}{8}=0.75tanθ=86=0.75，所以 θ=36.87∘\theta=36.87^\circθ=36.87∘，方位角约为 037∘037^\circ037∘。写三位数方位角之前，务必先确认合向量指向哪个象限。

Q: 为什么位移大小是 5 km，而不是 10 km？

101010 km h−1^{-1}−1 是速率；船只行驶了半小时，所以距离是 10×0.5=510\times0.5=510×0.5=5 km。等价地，位移向量是 3i+4j3\mathbf{i}+4\mathbf{j}3i+4j，大小为 32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=532+42=5。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，把速率、时间和位移分清楚能保住每一个步骤分。

为什么这是 KBAT 题

常规向量题给你两个向量，问它们的和或大小。导航 KBAT 题把向量藏进一个情境里，船朝一个方向行驶，水流却往另一个方向推，要你把它们建出来、相加，再把合向量解读成速率、方位角和靠岸点。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：写 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$ 分量、用 $\sqrt{x^2+y^2}$ ，都是熟悉的中四技能，但选东–北作为你的方向、意识到渡河时间只取决于垂直河岸的分量、漂移只取决于沿河岸的分量，这些洞见题目都留给了你。由分量正确读出方位角又多加一层。

让题目变难的是情境，而不是运算。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

取 $\mathbf{i}$ 为指向正东的单位向量， $\mathbf{j}$ 为指向正北的单位向量。在静水中一艘船以 $8$ km h $^{-1}$ 朝正北行驶。

一条笔直的河以 $6$ km h $^{-1}$ 朝正东流动，船的发动机始终使船头指向正北。(a) 用 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$ 表示船的合速度，并求合速率。

(b) 求船实际移动所沿的方位角。(c) 这条河从南岸到北岸宽 $4$ km。

求渡河所需时间、船被冲向下游的距离，以及合位移的大小。

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理解。 有两个速度同时起作用：船的 $8$ km h $^{-1}$ 朝北，记作 $8\mathbf{j}$ ；水流的 $6$ km h $^{-1}$ 朝东，记作 $6\mathbf{i}$ 。

船的真实运动是它们的向量和。河岸沿东–西走向，所以「过河」是北向（ $\mathbf{j}$ ），「下游」是东向（ $\mathbf{i}$ ）。

计划。 把两个速度向量相加得合速度，用 $\sqrt{x^2+y^2}$ 求速率，用 $\tan\theta=\tfrac{\text{东}}{\text{北}}$ 求方位角。

对于渡河，用北向分量去除 $4$ km 宽度，再把这个时间乘以东向分量得漂移。

执行。 (a) 把速度相加：

\mathbf{v} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}

合速率是它的大小：

|\mathbf{v}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \text{ km h}^{-1}

(b) 合向量指向东北象限。量出从正北向东的角 $\theta$ ：

\tan\theta = \frac{\text{东向分量}}{\text{北向分量}} = \frac{6}{8} = 0.75

\theta = \tan^{-1}(0.75) = 36.87^\circ

方位角从正北顺时针量起，所以船沿方位角 $036.87^\circ$ 移动，约为 $037^\circ$ 。

t = \frac{4}{8} = 0.5 \text{ 小时} = 30 \text{ 分钟}

在这段时间里东向分量 $6$ km h $^{-1}$ 把它带向下游：

\text{漂移} = 6 \times 0.5 = 3 \text{ km}

合位移为 $\mathbf{s}=\mathbf{v}\,t=(6\mathbf{i}+8\mathbf{j})(0.5)=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ ，大小为

|\mathbf{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ km}

所以船在 30 分钟内渡河，在下游 $3$ km 处靠岸，从起点算起的直线位移为 $5$ km。

检验。 位移 $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ 与速度 $6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ 指向相同，两者都化简为方向 $3:4$ ，这是应当的，因为船以恒定速度沿直线运动。

位移的北向部分 $4$ km 等于河宽，验证渡河已完成。

如何找到合理的第一步

当运动用文字和方向来描述时，可靠的第一步是定下一对互相垂直的方向，并把每个速度写成分量。这里东（ $\mathbf{i}$ ）和北（ $\mathbf{j}$ ）很自然，因为河向东流、船朝北行。

把每句话翻译成分量：' $8$ km h $^{-1}$ 朝北'变成 $8\mathbf{j}$ ；' $6$ km h $^{-1}$ 朝东'变成 $6\mathbf{i}$ 。两者都写成分量后，合向量就是一次加法，而后面两问也干净地分开：过河的距离只用北向分量，向下游的漂移只用东向分量。

先认定分量，而不是直接去推那条斜着的路径，正是把一段冗长的导航场景变成三段简短计算的关键。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于导航向量题，阅卷老师会找：

每个速度都写成分量，船为 $8\mathbf{j}$ ，水流为 $6\mathbf{i}$ 。
通过相加求出合向量 $\mathbf{v}=6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ 。
速率作为大小， $\sqrt{6^2+8^2}=10$ km h $^{-1}$ 。
方位角从正北顺时针量起， $\tan\theta=\tfrac{6}{8}$ 得约 $037^\circ$ 。
渡河时间只由垂直河岸的分量得出， $t=\tfrac{4}{8}=0.5$ 小时。
向下游漂移由沿河岸的分量得出， $6\times0.5=3$ km，以及位移大小 $5$ km。

老师如何帮助你

导航题奖励那些干净地分解分量、再逐一解读的学生，而这两种习惯在有反馈时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你先定下东和北，在相加之前把每个速度写成 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$ 分量，并说出哪个分量控制渡河时间、哪个控制漂移。

我们对方位角格外小心，从正北顺时针量起，因为分数常在这里悄悄丢掉。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

为什么渡河时间只用向北的速率？

河是沿北向渡过的，所以只有船速度的北向分量才把它从一岸带到另一岸。这里该分量是 $8$ km h $^{-1}$ ，河宽 $4$ km，所以时间为 $\tfrac{4}{8}=0.5$ 小时。

向东的水流对渡河本身既不帮忙也不阻碍，它只在这同一段时间里把船带向下游。

怎么把分量化成方位角？

方位角从正北顺时针量起。有了东向分量和北向分量，用 $\tan\theta=\tfrac{\text{东}}{\text{北}}$ 求出从正北向东的角。

这里 $\tan\theta=\tfrac{6}{8}=0.75$ ，所以 $\theta=36.87^\circ$ ，方位角约为 $037^\circ$ 。写三位数方位角之前，务必先确认合向量指向哪个象限。

为什么位移大小是 5 km，而不是 10 km？

$10$ km h $^{-1}$ 是速率；船只行驶了半小时，所以距离是 $10\times0.5=5$ km。等价地，位移向量是 $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ ，大小为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。

Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，把速率、时间和位移分清楚能保住每一个步骤分。

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作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026