KBAT: Vektor dalam Masalah Navigasi

Q: Mengapa magnitud sesaran ialah 5 km, bukan 10 km?

101010 km j−1^{-1}−1 ialah laju; bot bergerak hanya setengah jam, jadi jaraknya 10×0.5=510\times0.5=510×0.5=5 km. Setara dengan itu, vektor sesaran ialah 3i+4j3\mathbf{i}+4\mathbf{j}3i+4j dengan magnitud 32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=532+42=5. Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi mengasingkan laju, masa dan sesaran melindungi setiap markah kaedah.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan vektor rutin memberi anda dua vektor dan meminta hasil tambah atau magnitudnya. Soalan KBAT navigasi menyembunyikan vektor di dalam situasi, bot dikemudi satu arah sementara arus menolak arah lain, dan meminta anda membinanya, menambahnya, kemudian mentafsir paduan sebagai laju, bearing, dan titik pendaratan.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: menulis komponen $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ serta menggunakan $\sqrt{x^2+y^2}$ ialah kemahiran Tingkatan 4 yang biasa, tetapi memilih timur–utara sebagai arah anda, menyedari bahawa masa menyeberang sungai bergantung hanya pada komponen merentasinya, dan hanyutan ke hilir bergantung hanya pada komponen di sepanjangnya, ialah wawasan yang diserahkan kepada anda. Membaca bearing dengan betul daripada komponen menambah satu lapisan lagi.

Situasi, bukan aritmetiknya, itulah yang menyukarkannya.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Ambil $\mathbf{i}$ sebagai vektor unit ke arah timur dan $\mathbf{j}$ sebagai vektor unit ke arah utara. Dalam air tenang sebuah bot bergerak pada $8$ km j $^{-1}$ ke arah utara.

Sebatang sungai lurus mengalir pada $6$ km j $^{-1}$ ke arah timur, dan enjin bot mengekalkannya menghala ke utara sepanjang masa. (a) Ungkapkan halaju paduan bot dari segi $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ , dan cari laju paduan.

(b) Cari bearing arah bot itu benar-benar bergerak. (c) Sungai itu selebar $4$ km dari tebing selatan ke tebing utara.

Cari masa yang diambil untuk menyeberang, jarak bot dihanyutkan ke hilir, dan magnitud sesaran paduannya.

Show worked solution

Faham. Dua halaju bertindak serentak: bot $8$ km j $^{-1}$ ke utara, ditulis $8\mathbf{j}$ , dan arus $6$ km j $^{-1}$ ke timur, ditulis $6\mathbf{i}$ .

Gerakan sebenar bot ialah hasil tambah vektornya. Tebing membujur timur–barat, jadi 'merentas sungai' ialah arah utara ( $\mathbf{j}$ ) dan 'ke hilir' ialah arah timur ( $\mathbf{i}$ ).

Rancang. Tambah kedua-dua vektor halaju untuk paduan, guna $\sqrt{x^2+y^2}$ untuk laju, dan $\tan\theta=\tfrac{\text{timur}}{\text{utara}}$ untuk bearing.

Untuk penyeberangan, bahagikan lebar $4$ km dengan komponen utara, kemudian darab masa itu dengan komponen timur untuk hanyutan.

Laksana. (a) Tambah halaju:

\mathbf{v} = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j}

Laju paduan ialah magnitudnya:

|\mathbf{v}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \text{ km j}^{-1}

(b) Paduan menghala ke sukuan timur laut. Mengukur sudut $\theta$ ke timur dari utara:

\tan\theta = \frac{\text{komponen timur}}{\text{komponen utara}} = \frac{6}{8} = 0.75

\theta = \tan^{-1}(0.75) = 36.87^\circ

Bearing diukur mengikut arah jam dari utara, jadi bot bergerak pada bearing $036.87^\circ$ , iaitu lebih kurang $037^\circ$ .

t = \frac{4}{8} = 0.5 \text{ jam} = 30 \text{ minit}

Dalam masa itu komponen timur $6$ km j $^{-1}$ membawanya ke hilir:

\text{hanyutan} = 6 \times 0.5 = 3 \text{ km}

Sesaran paduan ialah $\mathbf{s}=\mathbf{v}\,t=(6\mathbf{i}+8\mathbf{j})(0.5)=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ , dengan magnitud

|\mathbf{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ km}

Jadi bot menyeberang dalam 30 minit, mendarat $3$ km ke hilir, dan sesaran garis lurusnya dari mula ialah $5$ km.

Semak. Sesaran $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ menghala ke arah yang sama dengan halaju $6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ , kedua-duanya dipermudah kepada arah $3:4$ , sebagaimana sepatutnya, kerana bot bergerak dalam garis lurus pada halaju malar.

Bahagian utara sesaran, $4$ km, sama dengan lebar sungai, mengesahkan penyeberangan lengkap.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila gerakan diterangkan dalam perkataan dan arah, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menetapkan sepasang arah serenjang dan menulis setiap halaju dalam komponen. Di sini timur ( $\mathbf{i}$ ) dan utara ( $\mathbf{j}$ ) semula jadi, kerana sungai mengalir ke timur dan bot dikemudi ke utara.

Terjemah setiap frasa kepada komponen: ' $8$ km j $^{-1}$ ke utara' menjadi $8\mathbf{j}$ ; ' $6$ km j $^{-1}$ ke timur' menjadi $6\mathbf{i}$ . Dengan kedua-duanya dalam bentuk komponen, paduan ialah satu penambahan, dan dua soalan seterusnya berpisah dengan kemas: jarak merentas sungai hanya guna komponen utara, hanyutan ke hilir hanya guna komponen timur.

Berpegang kepada komponen dahulu, bukannya cuba menaakul laluan condong secara terus, itulah yang menukar adegan navigasi berperkataan kepada tiga pengiraan pendek.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan vektor navigasi, pemeriksa mencari:

Setiap halaju ditulis dalam komponen, $8\mathbf{j}$ untuk bot dan $6\mathbf{i}$ untuk arus.
Paduan ditemui dengan menambah, $\mathbf{v}=6\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ .
Laju sebagai magnitud, $\sqrt{6^2+8^2}=10$ km j $^{-1}$ .
Bearing diukur mengikut arah jam dari utara, $\tan\theta=\tfrac{6}{8}$ memberi lebih kurang $037^\circ$ .
Masa menyeberang daripada komponen merentas sungai sahaja, $t=\tfrac{4}{8}=0.5$ jam.
Hanyutan ke hilir daripada komponen sepanjang sungai, $6\times0.5=3$ km, dan magnitud sesaran $5$ km.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan navigasi memberi ganjaran kepada pelajar yang meleraikan kepada komponen dengan kemas kemudian mentafsir setiap satu, dan kedua-dua tabiat tumbuh dengan maklum balas. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menetapkan timur dan utara dahulu, menulis setiap halaju sebagai komponen $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ sebelum menambah, dan menyebut komponen mana mengawal masa menyeberang dan mana mengawal hanyutan.

Kami berhati-hati dengan bearing, diukur mengikut arah jam dari utara, kerana di situlah markah hilang secara senyap. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa masa menyeberang guna hanya laju ke utara?

Sungai diseberangi dalam arah utara, jadi hanya komponen utara halaju bot menggerakkannya dari tebing ke tebing. Di sini komponen itu $8$ km j $^{-1}$ , dan lebarnya $4$ km, jadi masanya $\tfrac{4}{8}=0.5$ jam.

Arus ke timur tidak membantu atau menghalang penyeberangan itu sendiri, ia hanya membawa bot ke hilir dalam masa yang sama itu.

Bagaimana saya menukar komponen kepada bearing?

Bearing diukur mengikut arah jam dari utara. Dengan komponen timur dan komponen utara, cari sudut ke timur dari utara daripada $\tan\theta=\tfrac{\text{timur}}{\text{utara}}$ .

Di sini $\tan\theta=\tfrac{6}{8}=0.75$ , jadi $\theta=36.87^\circ$ dan bearing lebih kurang $037^\circ$ . Sentiasa semak sukuan mana paduan menghala sebelum menulis bearing tiga angka.

Mengapa magnitud sesaran ialah 5 km, bukan 10 km?

$10$ km j $^{-1}$ ialah laju; bot bergerak hanya setengah jam, jadi jaraknya $10\times0.5=5$ km. Setara dengan itu, vektor sesaran ialah $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ dengan magnitud $\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi mengasingkan laju, masa dan sesaran melindungi setiap markah kaedah.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026