KBAT：用向量证明几何

Q: 怎样用向量证明三点共线？

作出两个从同一点出发的向量，比如 QP→\overrightarrow{QP}QP 和 QR→\overrightarrow{QR}QR。如果能把一个写成另一个的标量倍 QR→=k QP→\overrightarrow{QR}=k\,\overrightarrow{QP}QR=kQP，那么三点就在一条直线上。这里 k=3k=3k=3，所以 PPP、QQQ、RRR 共线。

Q: 怎样求分割线段的点的位置向量？

对 AP:PB=m:nAP:PB=m:nAP:PB=m:n，用 OP→=OA→+mm+nAB→\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}OP=OA+m+nmAB。当 AP:PB=1:2AP:PB=1:2AP:PB=1:2 时，得 OP→=a+13(b−a)=23a+13b\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}OP=a+31(b−a)=32a+31b。中点是比为 1:11:11:1 的特例。

Q: 为什么我可以比较 a 和 b 的系数？

因为 a\mathbf{a}a 与 b\mathbf{b}b 非零且不平行，每个向量都恰好有一种表达式 p a+q bp\,\mathbf{a}+q\,\mathbf{b}pa+qb。所以若两个表达式相等，它们的 a\mathbf{a}a 系数相等，b\mathbf{b}b 系数也相等。正是这种唯一性，让你能解出未知标量或确认一个倍数关系。

Q: 向量证明在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分；评分是分步给分，步骤分一行一行地给。位置向量正确、标量倍这一步干净、并写出共线结论，即使比值只在最后才化简也能得分。

为什么这是 KBAT 题

常规的向量题要你把两个向量相加或求合向量，一步，一个答案。向量里的 KBAT 证明题则要你确立某件事为真：三点共线、一条线平行于另一条，或某个点按某个比分割线段。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：把点写成位置向量、套用比例，这些都是熟悉的技能，但在这里你必须选定要构造哪些向量、想清楚共线的证明究竟需要什么，并从“两个不平行向量的系数是唯一的”这一事实出发去论证。在 Add Math 里，这奖励的是把向量当作推理工具、而不只是把箭头拼起来的学生。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[8 marks]

在一幅图中， $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ ， $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ ，其中 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不平行。点 $P$ 在 $AB$ 上，使 $AP:PB=1:2$ 。

点 $Q$ 是 $OB$ 的中点，点 $R$ 在 $OA$ 的延长线上，使 $\overrightarrow{OR}=2\mathbf{a}$ 。(a) 用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$ 。

(b) 证明点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 共线。(c) 求比值 $QP:PR$ 。

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理解。 每个点都从同一个原点 $O$ 来度量。

因为 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不平行，平面上每个向量都恰好有一种形如 $p\,\mathbf{a}+q\,\mathbf{b}$ 的表达式。当连接三点、又共用一个点的两个向量互为标量倍时，这三点共线。

计划。 (a) $P$ 内分 $AB$ 为 $1:2$ ，所以用 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ 。

(b) 把 $\overrightarrow{OP}$ 、 $\overrightarrow{OQ}$ 、 $\overrightarrow{OR}$ 写成位置向量，从共用点 $Q$ 作出 $\overrightarrow{QP}$ 和 $\overrightarrow{QR}$ ，并证明 $\overrightarrow{QR}=k\,\overrightarrow{QP}$ 。(c) 由 $k$ 的值读出比值。

执行并检验。 (a) 由 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ ，且 $AP:PB=1:2$ 给出 $\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ ：

\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}

(b) $OB$ 的中点给出 $\overrightarrow{OQ}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ ，而 $\overrightarrow{OR}=2\mathbf{a}$ 已给出。从 $Q$ 作出两个向量：

\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}-\tfrac{1}{6}\mathbf{b}

\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}=2\mathbf{a}-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}

把 $\overrightarrow{QR}$ 提取因子，以便与 $\overrightarrow{QP}$ 比较：

\overrightarrow{QR}=2\mathbf{a}-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}=3\left(\tfrac{2}{3}\mathbf{a}-\tfrac{1}{6}\mathbf{b}\right)=3\,\overrightarrow{QP}

由于 $\overrightarrow{QR}=3\,\overrightarrow{QP}$ ，且两个向量都从共用点 $Q$ 出发，所以点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 在同一条直线上，它们共线。

(c) 由 $\overrightarrow{QR}=3\,\overrightarrow{QP}$ ，长度 $QR$ 是 $QP$ 的 $3$ 倍，所以 $QP:QR=1:3$ 。因为 $P$ 在 $Q$ 与 $R$ 之间， $PR=QR-QP$ 对应 $3-1=2$ 份，得 $QP:PR=1:2$ 。

检验。 同一个标量 $3$ 同时还原两个分量： $3\times\tfrac{2}{3}=2$ 与 $\overrightarrow{QR}$ 的 $\mathbf{a}$ 项相符， $3\times(-\tfrac{1}{6})=-\tfrac{1}{2}$ 与 $\mathbf{b}$ 项相符。

一个标量同时满足两个系数，正是共线所要求的，所以论证成立。

如何找到合理的第一步

当向量证明题看起来陌生时，别想着在图上“看”出答案，把那套永远有效的代数摆出来。可靠的第一步是把题目中提到的每个点，都写成从同一个原点 $O$ 出发、用两个基向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 表示的位置向量。

按给定比分割线段的点，直接来自 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ ；中点则是两端的平均。一旦每个点都成了位置向量，就想清楚你必须证明什么，并挑出承载它的那两个向量。

要证共线，就从一个共用点作出两个向量，检验其中一个是不是另一个的标量倍。因为 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不平行，比较系数是有效、又能得分的论证。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于向量证明题，阅卷老师会找：

每个点都写成从同一个原点出发、用 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 表示的位置向量。
正确套用分割比，例如 $AP:PB=1:2$ 时 $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ 。
在比较之前，先从共用点作出两个向量，如 $\overrightarrow{QP}$ 与 $\overrightarrow{QR}$ 。
明确把一个向量写成另一个的标量倍， $\overrightarrow{QR}=3\,\overrightarrow{QP}$ ，并写出标量。
清楚陈述：共用一点加上标量倍，就意味着三点共线。
由该标量读出比值，并化到最简， $QP:PR=1:2$ 。

老师如何帮助你

向量证明奖励的是一个习惯，而不是某个技巧：把一切都放到同一个原点上，让系数替你做事。在一对一课堂上，我们的老师和你一起养成这个习惯，标注图形、把每个点写成位置向量、在比较之前先从共用点作出那两个向量，好让“证明共线”不再像在瞎猜。

我们也要你写出为什么可以比较系数，因为阅卷老师给那一步推理的分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

怎样用向量证明三点共线？

作出两个从同一点出发的向量，比如 $\overrightarrow{QP}$ 和 $\overrightarrow{QR}$ 。如果能把一个写成另一个的标量倍 $\overrightarrow{QR}=k\,\overrightarrow{QP}$ ，那么三点就在一条直线上。

这里 $k=3$ ，所以 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 共线。

怎样求分割线段的点的位置向量？

对 $AP:PB=m:n$ ，用 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ 。当 $AP:PB=1:2$ 时，得 $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}$ 。

中点是比为 $1:1$ 的特例。

为什么我可以比较 a 和 b 的系数？

因为 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 非零且不平行，每个向量都恰好有一种表达式 $p\,\mathbf{a}+q\,\mathbf{b}$ 。所以若两个表达式相等，它们的 $\mathbf{a}$ 系数相等， $\mathbf{b}$ 系数也相等。

正是这种唯一性，让你能解出未知标量或确认一个倍数关系。

向量证明在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分；评分是分步给分，步骤分一行一行地给。位置向量正确、标量倍这一步干净、并写出共线结论，即使比值只在最后才化简也能得分。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026