KBAT: Membuktikan Geometri Dengan Vektor

Q: Bagaimana saya mencari vektor kedudukan titik yang membahagi tembereng?

Guna OP→=OA→+mm+nAB→\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}OP=OA+m+nmAB untuk AP:PB=m:nAP:PB=m:nAP:PB=m:n. Untuk AP:PB=1:2AP:PB=1:2AP:PB=1:2, ini memberi OP→=a+13(b−a)=23a+13b\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}OP=a+31(b−a)=32a+31b. Titik tengah ialah kes khas nisbah 1:11:11:1.

Q: Mengapa saya boleh membandingkan pekali a dan b?

Kerana a\mathbf{a}a dan b\mathbf{b}b bukan sifar dan tak selari, setiap vektor mempunyai tepat satu ungkapan p a+q bp\,\mathbf{a}+q\,\mathbf{b}pa+qb. Jadi jika dua ungkapan sama, pekali a\mathbf{a}a sepadan dan pekali b\mathbf{b}b sepadan. Keunikan itulah yang membolehkan anda menyelesaikan skalar yang tidak diketahui atau mengesahkan gandaan.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk bukti vektor?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah; pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Vektor kedudukan yang betul, langkah gandaan skalar yang kemas dan kesimpulan segaris yang dinyatakan memperoleh markah walaupun nisbah akhir dipermudahkan hanya di penghujung.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan vektor rutin meminta anda menambah dua vektor atau mencari paduan, satu langkah, satu jawapan. Soalan pembuktian KBAT dalam Vektor meminta anda menegakkan bahawa sesuatu itu benar: bahawa tiga titik segaris, bahawa satu garis selari dengan garis lain, atau bahawa satu titik membahagi tembereng pada nisbah tertentu.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: mengungkap titik sebagai vektor kedudukan dan mengenakan nisbah ialah kemahiran biasa, tetapi di sini anda mesti memilih vektor mana hendak dibina, memutuskan apa yang sebenarnya diperlukan oleh bukti segaris, dan berhujah daripada fakta bahawa dua vektor tak selari mempunyai pekali yang unik. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang menganggap vektor sebagai alat penaakulan, bukan sekadar cara menggabungkan anak panah.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[8 marks]

Dalam sebuah rajah, $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ dan $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ , dengan $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ tak selari. Titik $P$ terletak pada $AB$ dengan $AP:PB=1:2$ .

Titik $Q$ ialah titik tengah $OB$ , dan titik $R$ terletak pada $OA$ yang dipanjangkan dengan $\overrightarrow{OR}=2\mathbf{a}$ . (a) Ungkapkan $\overrightarrow{OP}$ dalam sebutan $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ .

(b) Tunjukkan bahawa titik $P$ , $Q$ dan $R$ segaris. (c) Cari nisbah $QP:PR$ .

Show worked solution

Faham. Setiap titik diukur dari satu asalan $O$ .

Kerana $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ tak selari, setiap vektor pada satah itu mempunyai tepat satu ungkapan berbentuk $p\,\mathbf{a}+q\,\mathbf{b}$ . Tiga titik segaris apabila dua vektor yang menghubungkannya dan berkongsi satu titik sepunya ialah gandaan skalar antara satu sama lain.

Rancang. (a) $P$ membahagi $AB$ secara dalaman pada nisbah $1:2$ , jadi guna $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .

(b) Tulis $\overrightarrow{OP}$ , $\overrightarrow{OQ}$ dan $\overrightarrow{OR}$ sebagai vektor kedudukan, bentuk $\overrightarrow{QP}$ dan $\overrightarrow{QR}$ dari titik sepunya $Q$ , dan tunjukkan $\overrightarrow{QR}=k\,\overrightarrow{QP}$ . (c) Baca nisbah daripada nilai $k$ .

Laksana dan semak. (a) Oleh sebab $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ dan $AP:PB=1:2$ memberi $\overrightarrow{AP}=\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ :

\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}

(b) Titik tengah $OB$ memberi $\overrightarrow{OQ}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}$ , dan $\overrightarrow{OR}=2\mathbf{a}$ diberi. Bentuk kedua-dua vektor dari $Q$ :

\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}-\tfrac{1}{6}\mathbf{b}

\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}=2\mathbf{a}-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}

Faktorkan $\overrightarrow{QR}$ untuk membandingkannya dengan $\overrightarrow{QP}$ :

\overrightarrow{QR}=2\mathbf{a}-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}=3\left(\tfrac{2}{3}\mathbf{a}-\tfrac{1}{6}\mathbf{b}\right)=3\,\overrightarrow{QP}

Oleh sebab $\overrightarrow{QR}=3\,\overrightarrow{QP}$ dan kedua-dua vektor bermula dari titik sepunya $Q$ , titik $P$ , $Q$ dan $R$ terletak pada satu garis lurus, mereka segaris.

(c) Daripada $\overrightarrow{QR}=3\,\overrightarrow{QP}$ , panjang $QR$ ialah $3$ kali $QP$ , jadi $QP:QR=1:3$ . Kerana $P$ terletak antara $Q$ dan $R$ , $PR=QR-QP$ sepadan dengan $3-1=2$ bahagian, memberi $QP:PR=1:2$ .

Semak. Skalar tunggal $3$ menghasilkan semula kedua-dua komponen: $3\times\tfrac{2}{3}=2$ sepadan dengan sebutan $\mathbf{a}$ bagi $\overrightarrow{QR}$ , dan $3\times(-\tfrac{1}{6})=-\tfrac{1}{2}$ sepadan dengan sebutan $\mathbf{b}$ .

Satu skalar yang menepati kedua-dua pekali itulah tepat yang diperlukan oleh segaris, jadi hujah itu sah.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila bukti vektor kelihatan asing, jangan cuba 'melihat' jawapan pada rajah, sediakan algebra yang sentiasa berkesan. Langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menulis setiap titik yang dinamakan dalam soalan sebagai vektor kedudukan dari satu asalan $O$ , dalam sebutan dua vektor asas $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ .

Titik yang membahagi tembereng pada nisbah tertentu datang terus daripada $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ ; titik tengah ialah purata dua hujungnya. Sebaik setiap titik menjadi vektor kedudukan, putuskan apa yang mesti anda buktikan dan pilih dua vektor yang membawanya.

Untuk segaris, bentuk dua vektor dari satu titik sepunya dan uji sama ada satu ialah gandaan skalar bagi yang lain. Kerana $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ tak selari, memadankan pekali ialah hujah yang sah dan bermarkah.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan pembuktian vektor, pemeriksa mencari:

Setiap titik ditulis sebagai vektor kedudukan dari satu asalan, dalam sebutan $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ .
Nisbah pembahagian dikenakan dengan betul, contohnya $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})$ untuk $AP:PB=1:2$ .
Dua vektor dibentuk dari titik sepunya, seperti $\overrightarrow{QP}$ dan $\overrightarrow{QR}$ , sebelum sebarang perbandingan.
Satu vektor ditunjukkan secara jelas sebagai gandaan skalar bagi yang lain, $\overrightarrow{QR}=3\,\overrightarrow{QP}$ , dengan skalar dinyatakan.
Penyataan jelas bahawa titik sepunya bersama gandaan skalar bermaksud ketiga-tiga titik segaris.
Nisbah dibaca daripada skalar itu dan diberi dalam bentuk termudah, $QP:PR=1:2$ .

Bagaimana seorang guru membantu

Bukti vektor memberi ganjaran kepada satu tabiat, bukan helah: letakkan segalanya pada satu asalan dan biarkan pekali melakukan kerja. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membina tabiat itu bersama anda, kami melabel rajah, menulis setiap titik sebagai vektor kedudukan, dan memilih dua vektor dari titik sepunya sebelum membandingkannya, supaya 'buktikan segaris' berhenti terasa seperti tekaan.

Kami juga meminta anda menyatakan mengapa memadankan pekali dibenarkan, kerana pemeriksa memberi markah untuk penaakulan itu. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membuktikan tiga titik segaris dengan vektor?

Bentuk dua vektor yang bermula dari titik yang sama, katakan $\overrightarrow{QP}$ dan $\overrightarrow{QR}$ . Jika anda boleh menulis satu sebagai gandaan skalar bagi yang lain, $\overrightarrow{QR}=k\,\overrightarrow{QP}$ , maka ketiga-tiga titik terletak pada satu garis lurus.

Di sini $k=3$ , jadi $P$ , $Q$ dan $R$ segaris.

Bagaimana saya mencari vektor kedudukan titik yang membahagi tembereng?

Guna $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ untuk $AP:PB=m:n$ . Untuk $AP:PB=1:2$ , ini memberi $\overrightarrow{OP}=\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}(\mathbf{b}-\mathbf{a})=\tfrac{2}{3}\mathbf{a}+\tfrac{1}{3}\mathbf{b}$ .

Titik tengah ialah kes khas nisbah $1:1$ .

Mengapa saya boleh membandingkan pekali a dan b?

Kerana $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ bukan sifar dan tak selari, setiap vektor mempunyai tepat satu ungkapan $p\,\mathbf{a}+q\,\mathbf{b}$ . Jadi jika dua ungkapan sama, pekali $\mathbf{a}$ sepadan dan pekali $\mathbf{b}$ sepadan.

Keunikan itulah yang membolehkan anda menyelesaikan skalar yang tidak diketahui atau mengesahkan gandaan.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk bukti vektor?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah; pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Vektor kedudukan yang betul, langkah gandaan skalar yang kemas dan kesimpulan segaris yang dinyatakan memperoleh markah walaupun nisbah akhir dipermudahkan hanya di penghujung.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026