KBAT：三角函数的推理

理解。 (a) 要求在一整圈内，所有满足含 $\cos 2x$ 与 $\sin x$ 的方程的角 $x$。

(b) 要求另一个式子 $f(x)=3\sin x+4\cos x$ 在同一范围内能取到的最大值与最小值，以及各自出现的角。(c) 检验一个声称的 $f(x)$ 数值是否真的能达到。

计划。 对于 (a)，用 $\cos 2A=1-2\sin^{2}A$ 把 $\cos 2x$ 改写掉，使整条方程都用 $\sin x$ 表示，再解出所得的二次方程，并舍去超出正弦值域的根。

对于 (b)，用和角公式展开 $R\sin(x+\alpha)$，与 $3\sin x+4\cos x$ 比较系数求出 $R$ 与 $\alpha$；最大值与最小值随后可由 $\sin(x+\alpha)$ 的值域得出。对于 (c)，把声称的数值与 (b) 求得的最大值作比较。

执行并检验，(a) 部分。 把 $\cos 2x$ 换成 $1-2\sin^{2}x$：

$$1-2\sin^{2}x+5\sin x=3$$

把所有项移到一边并化简：

$$2\sin^{2}x-5\sin x+2=0$$

因式分解：

$$(2\sin x-1)(\sin x-2)=0$$

所以 $\sin x=\tfrac{1}{2}$ 或 $\sin x=2$。由于对任何角都有 $-1\le\sin x\le 1$，$\sin x=2$ 不可能成立，应舍去。

对于 $\sin x=\tfrac{1}{2}$，基本角为 $30^{\circ}$；正弦在第一、第二象限为正，所以

$$x=30^{\circ}\quad\text{或}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$$

执行并检验，(b) 部分。 用 $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ 展开右边：

$$R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\sin x+R\sin\alpha\cos x$$

把它与 $3\sin x+4\cos x$ 比较，得 $R\cos\alpha=3$、$R\sin\alpha=4$。两式平方后相加可消去 $\alpha$：

$$R^{2}=3^{2}+4^{2}=25\ \Rightarrow\ R=5$$

两式相除得 $\tan\alpha=\tfrac{4}{3}$，所以 $\alpha=53.13^{\circ}$（保留两位小数），符合 $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$。于是

$$f(x)=3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53.13^{\circ})$$

当 $x$ 从 $0^{\circ}$ 变化到 $360^{\circ}$ 时，$x+53.13^{\circ}$ 从 $53.13^{\circ}$ 变化到 $413.13^{\circ}$，正好是一整圈。$\sin(x+53.13^{\circ})$ 的最大值是 $1$，在这段范围内只在 $x+53.13^{\circ}=90^{\circ}$ 处取得，得 $x=36.87^{\circ}$；最小值是 $-1$，在 $x+53.13^{\circ}=270^{\circ}$ 处取得，得 $x=216.87^{\circ}$。

所以 $f(x)$ 的最大值是 $5$，在 $x=36.87^{\circ}$ 处取得；最小值是 $-5$，在 $x=216.87^{\circ}$ 处取得。

检验。 在 $x=30^{\circ}$ 处：$\cos 60^{\circ}+5\sin 30^{\circ}=0.5+5(0.5)=3$，吻合。

在 $x=36.87^{\circ}$ 处：$\sin x=0.6$、$\cos x=0.8$，所以 $f(x)=3(0.6)+4(0.8)=1.8+3.2=5$，证实了这个最大值。

(c) 部分，推理。 这名学生并不正确。

(b) 已经说明，对任何角 $x$，$f(x)=3\sin x+4\cos x$ 都不可能超过 $R=5$，所以 $f(x)=6$ 根本无解，不仅仅是在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 内无解。这名学生的推理之所以错误，是因为他假定 $3$ 和 $4$ 可以在同一个 $x$ 处同时达到各自的最大值；但 $\sin x=1$ 只在 $x=90^{\circ}$ 处成立，而此时 $\cos x=0$，并非 $1$。

两项不可能同时达到峰值，而恒等式 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 正是阻止这种情况发生的原因：组合后的振幅受限于 $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，而不是两个系数简单相加的 $3+4=7$。