KBAT: Penaakulan Trigonometri

Q: Bagaimana saya tahu sama ada hendak guna identiti sudut berganda atau kaedah sudut bantu?

Lihat apa yang dicampurkan oleh ungkapan itu. Persamaan dengan dua gandaan sudut yang berbeza bagi sudut yang sama, seperti cos⁡2x\cos 2xcos2x dan sin⁡x\sin xsinx, memerlukan identiti sudut berganda untuk membawa segalanya ke dalam satu sudut sebelum ia dapat diselesaikan. Ungkapan yang menambah sebutan sinus dan sebutan kosinus bagi sudut yang sama, seperti 3sin⁡x+4cos⁡x3\sin x+4\cos x3sinx+4cosx, memerlukan kaedah sudut bantu, Rsin⁡(x+α)R\sin(x+\alpha)Rsin(x+α), yang menukar hasil tambah itu menjadi satu gelombang tunggal.

Q: Mengapa \sin x=2 ditolak dan bukan diselesaikan?

Kerana sin⁡x\sin xsinx tidak boleh melebihi 111 atau kurang daripada −1-1−1 bagi sebarang sudut sebenar xxx. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik dalam sin⁡x\sin xsinx menghasilkan punca seperti 222, ia bukan sudut yang tertinggal, ia punca algebra tanpa sudut yang sepadan langsung, dan mesti ditolak secara jelas sebelum jawapan akhir diberikan.

Q: Bagaimana saya mencari R dan \alpha dalam R\sin(x+\alpha)?

Kembangkan Rsin⁡(x+α)R\sin(x+\alpha)Rsin(x+α) menggunakan rumus sudut majmuk untuk mendapat Rcos⁡αsin⁡x+Rsin⁡αcos⁡xR\cos\alpha\sin x+R\sin\alpha\cos xRcosαsinx+Rsinαcosx, kemudian bandingkan pekali dengan ungkapan asal. Mengkuasaduakan dan menambah kedua-dua persamaan pekali memberi RRR; membahagikannya memberi tan⁡α\tan\alphatanα, dan seterusnya α\alphaα, dalam julat yang dinyatakan soalan, seperti 0∘<α<90∘0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}0∘<α<90∘.

Q: Mengapa 3\sin x+4\cos x tidak boleh mencapai 3+4=7?

Kerana sin⁡x\sin xsinx dan cos⁡x\cos xcosx tidak boleh kedua-duanya bersamaan 111 pada sudut xxx yang sama, apabila satu berada di puncaknya, yang satu lagi tidak. Menulis ungkapan itu sebagai Rsin⁡(x+α)R\sin(x+\alpha)Rsin(x+α) menunjukkan nilai terbesar sebenarnya ialah R=32+42=5R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5R=32+42=5, dicapai pada satu sudut tertentu, yang lebih kecil daripada hasil tambah mudah kedua-dua pekali.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan trigonometri rutin sudah memberitahu identiti yang perlu digunakan, atau memberi persamaan dalam satu nisbah yang sedia untuk diselesaikan. Soalan KBAT fungsi trigonometri mencampurkan sudut berganda dengan sudut tunggal dalam persamaan yang sama, jadi sebelum apa-apa dapat diselesaikan, anda mesti memilih identiti yang menulis semula kedua-dua belah dalam satu sudut, dan kemudian dalam soalan yang sama anda mungkin perlu menaakul tentang satu nilai yang didakwa, bukan sekadar mengiranya.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: identiti $\cos 2A=1-2\sin^{2}A$ dan menulis $a\sin x+b\cos x$ sebagai $R\sin(x+\alpha)$ kedua-duanya teknik Tingkatan 5 yang biasa, tetapi di sini anda memutuskan identiti mana yang menghapuskan ketakpadanan, menyelesaikan tanpa kehilangan punca, kemudian menilai sama ada satu maksimum yang didakwa itu benar-benar boleh dicapai. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang memahami apa yang dilakukan oleh identiti, menulis semula ungkapan tanpa mengubah nilainya, bukan sekadar pelajar yang menggantikan ke dalam satu baris yang dihafal.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[10 marks]

(a) Selesaikan persamaan $\cos 2x+5\sin x=3$ bagi $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ . (b) Ungkapkan $f(x)=3\sin x+4\cos x$ dalam bentuk $R\sin(x+\alpha)$ , dengan $R>0$ dan $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ .

Seterusnya nyatakan nilai maksimum dan minimum $f(x)$ bagi $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ , serta nilai $x$ yang sepadan bagi setiap satu. (c) Seorang pelajar mendakwa bahawa persamaan $3\sin x+4\cos x=6$ mempunyai penyelesaian bagi $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ , dengan alasan bahawa oleh sebab $3$ dan $4$ kedua-duanya positif, hasil tambahnya boleh mencapai $6$ .

Menggunakan jawapan anda di (b), terangkan sama ada pelajar itu betul.

Show worked solution

Faham. Bahagian (a) meminta setiap sudut $x$ dalam satu pusingan penuh yang memenuhi persamaan bercampur $\cos 2x$ dan $\sin x$ .

Bahagian (b) meminta nilai terbesar dan terkecil yang boleh diambil oleh ungkapan lain, $f(x)=3\sin x+4\cos x$ , dalam julat yang sama, serta sudut di mana setiap satu berlaku. Bahagian (c) menguji sama ada satu nilai $f(x)$ yang didakwa itu benar-benar mungkin.

Rancang. Untuk (a), tulis semula $\cos 2x$ menggunakan $\cos 2A=1-2\sin^{2}A$ supaya keseluruhan persamaan dalam sebutan $\sin x$ , kemudian selesaikan persamaan kuadratik yang terhasil dan tolak sebarang punca di luar julat sinus.

Untuk (b), kembangkan $R\sin(x+\alpha)$ menggunakan rumus sudut majmuk dan bandingkan pekali dengan $3\sin x+4\cos x$ untuk mencari $R$ dan $\alpha$ ; maksimum dan minimum kemudian mengikut daripada julat $\sin(x+\alpha)$ . Untuk (c), bandingkan nilai yang didakwa dengan maksimum yang ditemui di (b).

Laksana dan semak, bahagian (a). Ganti $\cos 2x$ dengan $1-2\sin^{2}x$ :

1-2\sin^{2}x+5\sin x=3

Kumpulkan semuanya pada satu sisi dan permudahkan:

2\sin^{2}x-5\sin x+2=0

Faktorkan:

(2\sin x-1)(\sin x-2)=0

Jadi $\sin x=\tfrac{1}{2}$ atau $\sin x=2$ . Oleh sebab $-1\le\sin x\le 1$ bagi setiap sudut, $\sin x=2$ mustahil dan ditolak.

Bagi $\sin x=\tfrac{1}{2}$ , sudut asasnya ialah $30^{\circ}$ ; sin adalah positif dalam sukuan pertama dan kedua, jadi

x=30^{\circ}\quad\text{atau}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

Laksana dan semak, bahagian (b). Kembangkan sebelah kanan menggunakan $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ :

R\sin(x+\alpha)=R\cos\alpha\sin x+R\sin\alpha\cos x

Membandingkan ini dengan $3\sin x+4\cos x$ memberi $R\cos\alpha=3$ dan $R\sin\alpha=4$ . Mengkuasaduakan dan menambah menghapuskan $\alpha$ :

R^{2}=3^{2}+4^{2}=25\ \Rightarrow\ R=5

Membahagikan kedua-dua persamaan memberi $\tan\alpha=\tfrac{4}{3}$ , jadi $\alpha=53.13^{\circ}$ (2 tempat perpuluhan), yang sesuai dengan $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ . Maka

f(x)=3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53.13^{\circ})

Apabila $x$ bergerak dari $0^{\circ}$ hingga $360^{\circ}$ , $x+53.13^{\circ}$ bergerak dari $53.13^{\circ}$ hingga $413.13^{\circ}$ , satu pusingan penuh. Nilai terbesar $\sin(x+53.13^{\circ})$ ialah $1$ , dicapai sekali dalam julat itu pada $x+53.13^{\circ}=90^{\circ}$ , memberi $x=36.87^{\circ}$ ; nilai terkecil ialah $-1$ , dicapai pada $x+53.13^{\circ}=270^{\circ}$ , memberi $x=216.87^{\circ}$ .

Jadi nilai maksimum $f(x)$ ialah $5$ pada $x=36.87^{\circ}$ , dan nilai minimum ialah $-5$ pada $x=216.87^{\circ}$ .

Semak. Pada $x=30^{\circ}$ : $\cos 60^{\circ}+5\sin 30^{\circ}=0.5+5(0.5)=3$ , sepadan.

Pada $x=36.87^{\circ}$ : $\sin x=0.6$ dan $\cos x=0.8$ , jadi $f(x)=3(0.6)+4(0.8)=1.8+3.2=5$ , mengesahkan maksimum.

Bahagian (c), penaakulan. Pelajar itu tidak betul.

Bahagian (b) menunjukkan $f(x)=3\sin x+4\cos x$ tidak boleh melebihi $R=5$ , bagi sebarang sudut $x$ , jadi $f(x)=6$ tiada penyelesaian langsung, bukan sahaja tiada dalam $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ . Penaakulan pelajar itu gagal kerana ia menganggap $3$ dan $4$ boleh mencapai saiz penuhnya pada $x$ yang sama; tetapi $\sin x=1$ hanya pada $x=90^{\circ}$ , di mana $\cos x=0$ , bukan $1$ .

Kedua-dua sebutan tidak boleh mencapai puncak bersama, dan identiti $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ itulah yang menghalangnya: amplitud gabungan dibatasi oleh $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ , bukan oleh hasil tambah mudah $3+4=7$ .

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila persamaan atau ungkapan trigonometri kelihatan asing, namakan ketakpadanan sebelum berbuat apa-apa lagi. Dua gandaan sudut yang berbeza dalam persamaan yang sama, seperti $2x$ dan $x$ , memerlukan identiti sudut berganda yang meletakkan segalanya dalam satu sudut.

Dua nisbah trigonometri berbeza yang ditambah bersama, seperti $3\sin x+4\cos x$ , memerlukan kaedah sudut bantu, $R\sin(x+\alpha)$ , supaya ungkapan itu menjadi satu gelombang tunggal dengan satu maksimum dan satu minimum. Sebaik sahaja persamaan sudah menjadi satu nisbah, selesaikannya seperti persamaan kuadratik atau linear biasa, dengan mengingati bahawa $\sin x$ dan $\cos x$ hanya boleh terletak antara $-1$ dan $1$ , sebarang 'penyelesaian' lain daripada algebra mesti ditolak.

Semakan terakhir inilah yang menjadikan persamaan yang mempunyai punca tambahan sebagai jawapan yang sepenuhnya betul.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan KBAT fungsi trigonometri, pemeriksa mencari:

Identiti yang betul dipilih untuk menghapuskan ketakpadanan, identiti sudut berganda untuk dua gandaan sudut, kaedah sudut bantu untuk hasil tambah sinus dan kosinus.
Penggantian dilaksanakan dengan betul sebelum penyelesaian bermula.
Sebarang punca di luar julat sinus atau kosinus, seperti $\sin x=2$ , ditolak secara jelas, bukan dibuang senyap-senyap.
Sudut asas dicari daripada nisbah positif, kemudian sukuan yang betul digunakan untuk menyenaraikan setiap penyelesaian dalam julat yang dinyatakan.
$R$ dan $\alpha$ ditemui dengan membandingkan pekali, dengan $\alpha$ disemak terhadap julat yang dinyatakan seperti $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ .
Jawapan bertaakul dalam bahagian 'tunjukkan bahawa' atau 'terangkan sama ada', bukan sekadar satu nilai berangka.

Bagaimana seorang guru membantu

Identiti trigonometri mudah dinyatakan tetapi mudah disalahguna, jadi guru kami menghabiskan beberapa minit pertama pelajaran untuk menamakan ketakpadanan sebelum mencapai satu formula, sudut berganda di sebelah sudut tunggal, atau dua nisbah berbeza yang ditambah bersama. Kami melatih kaedah sudut bantu sehingga menulis $a\sin x+b\cos x$ sebagai $R\sin(x+\alpha)$ menjadi automatik, dan kami menjadikan semakan julat pada $\sin x$ dan $\cos x$ satu tabiat, bukan renungan kemudian, supaya punca yang perlu ditolak tidak pernah terlepas pandang.

Kami juga berlatih bahagian penaakulan secara lisan, kerana pemeriksa memberi ganjaran kepada penerangan yang jelas mengapa satu dakwaan benar atau salah, bukan sekadar nombor yang betul. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu sama ada hendak guna identiti sudut berganda atau kaedah sudut bantu?

Lihat apa yang dicampurkan oleh ungkapan itu. Persamaan dengan dua gandaan sudut yang berbeza bagi sudut yang sama, seperti $\cos 2x$ dan $\sin x$ , memerlukan identiti sudut berganda untuk membawa segalanya ke dalam satu sudut sebelum ia dapat diselesaikan.

Ungkapan yang menambah sebutan sinus dan sebutan kosinus bagi sudut yang sama, seperti $3\sin x+4\cos x$ , memerlukan kaedah sudut bantu, $R\sin(x+\alpha)$ , yang menukar hasil tambah itu menjadi satu gelombang tunggal.

Mengapa

\sin x=2

ditolak dan bukan diselesaikan?

Kerana $\sin x$ tidak boleh melebihi $1$ atau kurang daripada $-1$ bagi sebarang sudut sebenar $x$ . Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik dalam $\sin x$ menghasilkan punca seperti $2$ , ia bukan sudut yang tertinggal, ia punca algebra tanpa sudut yang sepadan langsung, dan mesti ditolak secara jelas sebelum jawapan akhir diberikan.

Bagaimana saya mencari

R

dan

\alpha

dalam

R\sin(x+\alpha)

Kembangkan $R\sin(x+\alpha)$ menggunakan rumus sudut majmuk untuk mendapat $R\cos\alpha\sin x+R\sin\alpha\cos x$ , kemudian bandingkan pekali dengan ungkapan asal. Mengkuasaduakan dan menambah kedua-dua persamaan pekali memberi $R$ ; membahagikannya memberi $\tan\alpha$ , dan seterusnya $\alpha$ , dalam julat yang dinyatakan soalan, seperti $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ .

Mengapa

3\sin x+4\cos x

tidak boleh mencapai

3+4=7

Kerana $\sin x$ dan $\cos x$ tidak boleh kedua-duanya bersamaan $1$ pada sudut $x$ yang sama, apabila satu berada di puncaknya, yang satu lagi tidak. Menulis ungkapan itu sebagai $R\sin(x+\alpha)$ menunjukkan nilai terbesar sebenarnya ialah $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ , dicapai pada satu sudut tertentu, yang lebih kecil daripada hasil tambah mudah kedua-dua pekali.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Penaakulan Fungsi Trigonometri