KBAT：三角方程策略选择

Q: 为什么我不该用 \cos x 去除两边？

因为 cos⁡x\cos xcosx 可能为零，而用一个可能为零的东西去除会丢掉解。在 2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x2sinxcosx=cosx 中，相除只会得到 sin⁡x=12\sin x=\tfrac{1}{2}sinx=21，丢掉 x=90∘x=90^{\circ}x=90∘ 和 270∘270^{\circ}270∘。应把所有项移到一边、提出公因式 cos⁡x\cos xcosx，再令每个因式等于零。

Q: 我怎么知道该用哪个恒等式？

读出那个不匹配。两个不同的角的倍数，2x2x2x 和 xxx，或 xxx 和 x2\tfrac{x}{2}2x，需要倍角恒等式。平方项与一次项同时出现，需要用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1sin2x+cos2x=1 化到一个比值。夹在正弦和余弦中的单独一个 tan⁡x\tan xtanx，可写成 sin⁡xcos⁡x\tfrac{\sin x}{\cos x}cosxsinx。

Q: 我怎么得到范围内的每一个解？

从正值求出基本角（参考角），再用符号选定象限：sin⁡x=12\sin x=\tfrac{1}{2}sinx=21 在第一、第二象限为正，给出 30∘30^{\circ}30∘ 和 150∘150^{\circ}150∘。从 0∘0^{\circ}0∘ 扫到 360∘360^{\circ}360∘，列出每一个符合的角，并检查没有落在范围之外的。

Q: 这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。选对恒等式、化成单一个角、正确因式分解、列出范围内所有解，各自都能得分，所以每一步都要写出来，并以完整的一组角收尾。

为什么这是 KBAT 题

常规的三角方程已经是你能直接解的形式：' $\sin x=0.5$ ，求 $x$ '。策略选择型 KBAT 题给你一道还没「就绪」的方程，倍角挨着单角、一个平方项、一个等于零的乘积，要你自己决定路线。

这就是高层次思维，Kemahiran Berfikir Aras Tinggi：每个恒等式你都熟悉，但你必须读出是什么让这道方程别扭，并挑出能消去它的工具。两个不同的角的倍数需要倍角恒等式；一个平方项需要毕氏恒等式；一个公因式需要因式分解，而不是相除。

没有人告诉你该用哪个。在 Add Math 里，这奖励的是先规划路线再计算的学生，而不只是在方程整理好后会转一下把手的学生。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做，再看解答。

Q1[6 marks]

在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 范围内解方程 $\sin 2x=\cos x$ 。

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理解。 左边是倍角 $\sin 2x$ ，右边是单角 $\cos x$ 。

二者无法直接比较，所以我们需要把一切都化成同一个角 $x$ 。倍角恒等式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 恰好做到这一点。

范围是整整一圈，所以应当预期有多个解。

计划。 把 $\sin 2x$ 换成 $2\sin x\cos x$ ，把所有项移到一边，提出公因式 $\cos x$ 。

然后令每个因式等于零，在范围内求解。我们不会用 $\cos x$ 去除两边，因为那会丢掉任何 $\cos x=0$ 的解。

执行并检验。 改写左边，把右边移过来：

2\sin x\cos x=\cos x \;\Rightarrow\; 2\sin x\cos x-\cos x=0

提出公因式 $\cos x$ ：

\cos x\,(2\sin x-1)=0

所以要么 $\cos x=0$ ，要么 $2\sin x-1=0$ ，即 $\sin x=\tfrac{1}{2}$ 。在 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 内逐个处理每个因式。

\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=90^{\circ},\;270^{\circ}

对于 $\sin x=\tfrac{1}{2}$ ，基本角为 $30^{\circ}$ ；正弦在第一、第二象限为正，所以

x=30^{\circ} \quad\text{和}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

收齐范围内所有解： $x=30^{\circ},\;90^{\circ},\;150^{\circ},\;270^{\circ}$ 。

检验。 检验 $x=90^{\circ}$ ：左 $\sin 180^{\circ}=0$ ，右 $\cos 90^{\circ}=0$ ，相等。

检验 $x=30^{\circ}$ ：左 $\sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，右 $\cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，相等。注意，若当初用 $\cos x$ 相除，就只会得到 $30^{\circ}$ 和 $150^{\circ}$ ，而丢掉 $90^{\circ}$ 和 $270^{\circ}$ ，这正是因式分解重要的原因。

如何找到合理的第一步

当一道三角方程看起来陌生时，别急着解，先诊断。扫一眼是什么让这道方程不能成为简单的「比值等于数」。

如果出现两个不同的角的倍数，如 $\sin 2x$ 和 $\cos x$ ，第一步就用倍角恒等式把每个角统一。如果出现平方项，如 $\sin^{2}x$ 挨着 $\cos x$ ，就用 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 化到一个比值，再当作二次方程处理。

如果整理后出现乘积等于零，就因式分解，令每个括号等于零。一个能护住分数的习惯：绝不用一个可能为零的三角项去除两边，把它移过去、做因式分解。

从不匹配处选定策略，代数自会随之而来。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于三角方程，阅卷老师会找：

为不匹配选对恒等式， $2x$ 挨着 $x$ 用倍角，平方项用毕氏恒等式。
在求解前把每一项都化成单一个角。
提出公因式而不是相除，使得没有解被丢掉。
从正值求出基本角，然后使用正确的象限。
所有解都列在范围 $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ 之内，没有落在范围外的。
把一两个解代回原方程做检验。

老师如何帮助你

这类题的难点在于第一个决定，用哪个恒等式、要不要因式分解，所以这正是我们的老师操练的。在一对一课堂上，我们一起建立一套简短的诊断流程：看出不匹配、说出能消去它的恒等式，然后因式分解而非相除。

我们也操练范围上的处理，让基本角和象限符号给出每一个解，而不只是第一个。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

为什么我不该用

\cos x

去除两边？

因为 $\cos x$ 可能为零，而用一个可能为零的东西去除会丢掉解。在 $2\sin x\cos x=\cos x$ 中，相除只会得到 $\sin x=\tfrac{1}{2}$ ，丢掉 $x=90^{\circ}$ 和 $270^{\circ}$ 。

应把所有项移到一边、提出公因式 $\cos x$ ，再令每个因式等于零。

我怎么知道该用哪个恒等式？

读出那个不匹配。两个不同的角的倍数， $2x$ 和 $x$ ，或 $x$ 和 $\tfrac{x}{2}$ ，需要倍角恒等式。

平方项与一次项同时出现，需要用 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ 化到一个比值。夹在正弦和余弦中的单独一个 $\tan x$ ，可写成 $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ 。

我怎么得到范围内的每一个解？

从正值求出基本角（参考角），再用符号选定象限： $\sin x=\tfrac{1}{2}$ 在第一、第二象限为正，给出 $30^{\circ}$ 和 $150^{\circ}$ 。从 $0^{\circ}$ 扫到 $360^{\circ}$ ，列出每一个符合的角，并检查没有落在范围之外的。

这类题在 Add Math 试卷二里怎么评分？

试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，评分是分步给分，步骤分一行一行地给。选对恒等式、化成单一个角、正确因式分解、列出范围内所有解，各自都能得分，所以每一步都要写出来，并以完整的一组角收尾。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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