KBAT: Strategi Persamaan Trigonometri

Q: Mengapa saya tidak patut membahagi kedua-dua sisi dengan \cos x?

Kerana cos⁡x\cos xcosx boleh menjadi sifar, dan membahagi dengan sesuatu yang mungkin sifar membuang penyelesaian. Dalam 2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x2sinxcosx=cosx, membahagi memberi hanya sin⁡x=12\sin x=\tfrac{1}{2}sinx=21 dan kehilangan x=90∘x=90^{\circ}x=90∘ dan 270∘270^{\circ}270∘. Pindahkan segalanya ke satu sisi dan faktorkan keluar cos⁡x\cos xcosx, kemudian samakan setiap faktor dengan sifar.

Q: Bagaimana saya tahu identiti yang mana untuk digunakan?

Baca ketakpadanan itu. Dua gandaan sudut yang berbeza, 2x2x2x dan xxx, atau xxx dan x2\tfrac{x}{2}2x, memerlukan identiti sudut berganda. Sebutan kuasa dua bersama sebutan kuasa pertama memerlukan sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x=1sin2x+cos2x=1 untuk mencapai satu nisbah. Satu tan⁡x\tan xtanx bersendirian dalam kalangan sin dan kos boleh ditulis sebagai sin⁡xcos⁡x\tfrac{\sin x}{\cos x}cosxsinx.

Q: Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Memilih identiti, menulis semula dalam satu sudut, memfaktorkan dengan betul dan menyenaraikan semua penyelesaian dalam julat masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap langkah dan akhiri dengan set sudut yang lengkap.

Mengapa ini soalan KBAT

Persamaan trigonometri rutin sudah dalam bentuk yang boleh anda selesaikan: ' $\sin x=0.5$ , cari $x$ '. Soalan KBAT pemilihan strategi memberi anda persamaan yang belum bersedia, sudut berganda di sebelah sudut tunggal, sebutan kuasa dua, hasil darab bersamaan sifar, dan meminta anda memutuskan laluannya.

Itulah pemikiran aras tinggi, Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: setiap identiti sudah biasa, tetapi anda mesti membaca apa yang menjadikan persamaan itu janggal dan memilih alat yang menghapuskannya. Dua gandaan sudut yang berbeza memerlukan identiti sudut berganda; kuasa dua memerlukan identiti Pythagoras; faktor sepunya memerlukan pemfaktoran, bukan pembahagian.

Tiada apa-apa memberitahu yang mana. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang merancang laluan sebelum mengira, bukan sekadar pelajar yang boleh memusing engkol setelah persamaan sudah kemas.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cubalah sebelum membaca penyelesaian.

Q1[6 marks]

Selesaikan persamaan $\sin 2x=\cos x$ bagi $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

Show worked solution

Faham. Sebelah kiri mempunyai sudut berganda, $\sin 2x$ , manakala sebelah kanan mempunyai sudut tunggal, $\cos x$ .

Keduanya tidak boleh dibandingkan secara terus, jadi kita perlukan segalanya dalam sebutan sudut yang sama $x$ . Identiti sudut berganda $\sin 2x=2\sin x\cos x$ melakukan tepat itu.

Julatnya satu putaran penuh, jadi kita patut menjangka beberapa penyelesaian.

Rancang. Ganti $\sin 2x$ dengan $2\sin x\cos x$ , pindahkan segalanya ke satu sisi, dan faktorkan keluar $\cos x$ yang sepunya.

Kemudian samakan setiap faktor dengan sifar dan selesaikan dalam julat. Kita tidak akan membahagi kedua-dua sisi dengan $\cos x$ , kerana itu akan membuang sebarang penyelesaian yang $\cos x=0$ .

Laksana dan semak. Tulis semula sebelah kiri dan pindahkan sebelah kanan:

2\sin x\cos x=\cos x \;\Rightarrow\; 2\sin x\cos x-\cos x=0

Faktorkan keluar faktor sepunya $\cos x$ :

\cos x\,(2\sin x-1)=0

Jadi sama ada $\cos x=0$ atau $2\sin x-1=0$ , iaitu $\sin x=\tfrac{1}{2}$ . Ambil setiap faktor secara bergilir dalam $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ .

\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=90^{\circ},\;270^{\circ}

Bagi $\sin x=\tfrac{1}{2}$ , sudut asasnya ialah $30^{\circ}$ ; sin adalah positif dalam sukuan pertama dan kedua, jadi

x=30^{\circ} \quad\text{dan}\quad x=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}

Mengumpul setiap penyelesaian dalam julat: $x=30^{\circ},\;90^{\circ},\;150^{\circ},\;270^{\circ}$ .

Semak. Uji $x=90^{\circ}$ : kiri $\sin 180^{\circ}=0$ , kanan $\cos 90^{\circ}=0$ , sama.

Uji $x=30^{\circ}$ : kiri $\sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ , kanan $\cos 30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ , sama. Perhatikan bahawa jika kita membahagi dengan $\cos x$ , kita hanya akan menemui $30^{\circ}$ dan $150^{\circ}$ serta kehilangan $90^{\circ}$ dan $270^{\circ}$ , inilah sebabnya pemfaktoran penting.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila persamaan trigonometri kelihatan asing, jangan mula menyelesaikan, mula mendiagnosis. Imbas apa yang menghalang persamaan itu daripada menjadi 'nisbah bersamaan nombor' yang mudah.

Jika dua gandaan sudut yang berbeza muncul, seperti $\sin 2x$ dan $\cos x$ , langkah pertama ialah identiti sudut berganda untuk menyamakan setiap sudut. Jika sebutan kuasa dua muncul, seperti $\sin^{2}x$ di sebelah $\cos x$ , guna $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ untuk mencapai satu nisbah, kemudian anggap ia persamaan kuadratik.

Jika, selepas menyusun semula, hasil darab bersamaan sifar, faktorkan dan samakan setiap kurungan dengan sifar. Satu tabiat yang melindungi markah: jangan sekali-kali membahagi kedua-dua sisi dengan sebutan trigonometri yang mungkin sifar, pindahkannya dan faktorkan.

Pilih strategi daripada ketakpadanan, dan algebra akan mengikut dengan sendirinya.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk persamaan trigonometri, pemeriksa mencari:

Identiti yang betul dipilih untuk ketakpadanan, sudut berganda untuk $2x$ di sebelah $x$ , identiti Pythagoras untuk kuasa dua.
Setiap sebutan ditulis semula dalam satu sudut sebelum diselesaikan.
Memfaktorkan keluar sebutan sepunya dan bukan membahagi, supaya tiada penyelesaian hilang.
Sudut asas dicari daripada nilai positif, kemudian sukuan yang betul digunakan.
Semua penyelesaian disenaraikan dalam julat $0^{\circ}\le x\le 360^{\circ}$ , tiada yang di luarnya.
Semakan dengan menggantikan satu atau dua penyelesaian ke dalam persamaan asal.

Bagaimana seorang guru membantu

Bahagian sukar soalan begini ialah keputusan pertama, identiti yang mana, dan sama ada perlu memfaktorkan, jadi itulah yang guru kami latih. Dalam kelas satu-dengan-satu, kami membina satu rutin diagnosis yang pendek bersama: kesan ketakpadanan, namakan identiti yang menghapuskannya, kemudian faktorkan bukannya membahagi.

Kami juga melatih kerja julat, supaya sudut asas dan tanda sukuan memberi setiap penyelesaian, bukan hanya yang pertama. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa saya tidak patut membahagi kedua-dua sisi dengan

\cos x

Kerana $\cos x$ boleh menjadi sifar, dan membahagi dengan sesuatu yang mungkin sifar membuang penyelesaian. Dalam $2\sin x\cos x=\cos x$ , membahagi memberi hanya $\sin x=\tfrac{1}{2}$ dan kehilangan $x=90^{\circ}$ dan $270^{\circ}$ .

Pindahkan segalanya ke satu sisi dan faktorkan keluar $\cos x$ , kemudian samakan setiap faktor dengan sifar.

Bagaimana saya tahu identiti yang mana untuk digunakan?

Baca ketakpadanan itu. Dua gandaan sudut yang berbeza, $2x$ dan $x$ , atau $x$ dan $\tfrac{x}{2}$ , memerlukan identiti sudut berganda.

Sebutan kuasa dua bersama sebutan kuasa pertama memerlukan $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ untuk mencapai satu nisbah. Satu $\tan x$ bersendirian dalam kalangan sin dan kos boleh ditulis sebagai $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ .

Bagaimana saya mendapat setiap penyelesaian dalam julat?

Cari sudut asas (rujukan) daripada nilai positif, kemudian guna tanda untuk memilih sukuan: $\sin x=\tfrac{1}{2}$ positif dalam sukuan pertama dan kedua, memberi $30^{\circ}$ dan $150^{\circ}$ . Imbas dari $0^{\circ}$ hingga $360^{\circ}$ dan senaraikan setiap sudut yang sepadan, pastikan tiada yang jatuh di luar julat.

Bagaimana Add Math Kertas 2 dimarkah untuk soalan begini?

Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah, dan pemarkahan adalah analitik, markah kaedah diberi baris demi baris. Memilih identiti, menulis semula dalam satu sudut, memfaktorkan dengan betul dan menyenaraikan semua penyelesaian dalam julat masing-masing memperoleh markah, jadi tunjukkan setiap langkah dan akhiri dengan set sudut yang lengkap.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Memilih Strategi untuk Persamaan Trigonometri