KBAT：三维三角形问题

Q: 为什么拉索用勾股定理就够，而 AB 不行？

因为竖直桅杆与平地成直角相接，三角形 VFAVFAVFA 与 VFBVFBVFB 是直角三角形，勾股定理能直接处理直角三角形。而 ABABAB 在地面三角形 AFBAFBAFB 里，它的角是 120∘120^{\circ}120∘，是钝角（斜）三角形，所以要改用余弦定理。为每个三角形配上正确的工具，正是这道题的核心。

Q: 我怎么知道该把哪个角放进余弦定理？

用夹角，夹在你已知的两条边之间的那个角。这里 FAFAFA 和 FBFBFB 已知，而 120∘120^{\circ}120∘ 就夹在它们之间、在 FFF 处，所以它就是 AB2=FA2+FB2−2 FA⋅FBcos⁡120∘AB^{2}=FA^{2}+FB^{2}-2\,FA\cdot FB\cos 120^{\circ}AB2=FA2+FB2−2FA⋅FBcos120∘ 里该用的角。选了一个不在两条已知边之间的角，是这类题最常见的失误。

Q: 如果我把 AB 取近似取得太早，会扣分吗？

有风险。把 AB2=604AB^{2}=604AB2=604 保持精确，只在最后一步才取近似，或者在 (c) 里多带几位小数。Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，步骤分奖励一条正确的过程链，但取近似取得太早，可能把最终的角或面积推到可接受范围之外。

为什么这是 KBAT 题

常规的三角形的解题目给你一个三角形和一条要用的定理。三维 KBAT 题把好几个三角形藏在同一张图里，一根竖直桅杆、地面上的两条线、两根倾斜拉索，却从不告诉你先解哪个三角形、哪条定理合适。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：每一个单独步骤都是中四内容，勾股定理、余弦定理、面积公式，但要把平面图看作真实物体、辨认哪些三角形是直角的、哪些是钝角（斜）的，并为每个三角形配上正确的工具，这些都留给你。会把情境画出来、在桅杆与平地相接处标上直角的学生，能把一张拥挤的 3D 图变成一串他们早已会解的普通 2D 三角形。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请先自己做一遍，再看解答。

Q1[10 marks]

一根竖直桅杆 $VF$ 立在水平地面上，顶端为 $V$ ，底端为 $F$ ；其高 $VF = 24$ 米。两根拉索从顶端 $V$ 拉到地面上的锚点 $A$ 和 $B$ ，其中 $FA = 18$ 米， $FB = 10$ 米。

在地面上，两锚点之间的夹角 $\angle AFB$ 为 $120^{\circ}$ 。(a) 求每根拉索的长度 $VA$ 和 $VB$ 。

(b) 求两锚点之间的距离 $AB$ 。(c) 求两根拉索在桅杆顶端的夹角 $\angle AVB$ ，并由此求三角形 $VAB$ 的面积。

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理解。 桅杆竖直，所以它与水平地面成直角相接： $\angle VFA = \angle VFB = 90^{\circ}$ 。

这使三角形 $VFA$ 和 $VFB$ 成为直角三角形，正适合勾股定理。三角形 $AFB$ 平躺在地面上且为钝角（斜）三角形，因为它的角是 $120^{\circ}$ ，所以要用余弦定理。

顶部三角形 $VAB$ 是立在空间中的一个倾斜的斜三角形。

计划。 在两个竖直直角三角形里用勾股定理求拉索 $VA$ 和 $VB$ 。

在地面三角形 $AFB$ 里用余弦定理求 $AB$ 。然后，当三角形 $VAB$ 三边都已知时，再用一次余弦定理求 $\angle AVB$ ，并用面积公式 $\frac{1}{2}\,VA\cdot VB\,\sin(\angle AVB)$ 。

执行并检验。 (a) 在竖直直角三角形里用勾股定理：

VA=\sqrt{VF^{2}+FA^{2}}=\sqrt{24^{2}+18^{2}}=\sqrt{900}=30

VB=\sqrt{VF^{2}+FB^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=\sqrt{676}=26

所以拉索为 $VA = 30$ 米， $VB = 26$ 米。

(b) 在地面三角形 $AFB$ 里， $120^{\circ}$ 是 $FA$ 与 $FB$ 之间的夹角（夹在两边之间），所以用余弦定理，取 $\cos 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}$ ：

AB^{2}=FA^{2}+FB^{2}-2\,FA\cdot FB\,\cos 120^{\circ}=18^{2}+10^{2}-2(18)(10)\left(-\tfrac{1}{2}\right)=424+180=604

AB=\sqrt{604}\approx 24.58\ \text{m}

\cos(\angle AVB)=\frac{VA^{2}+VB^{2}-AB^{2}}{2\,VA\cdot VB}=\frac{900+676-604}{2(30)(26)}=\frac{972}{1560}=0.6231

\angle AVB\approx 51.46^{\circ}

倾斜三角形的面积随后由面积公式得出：

\text{Area}=\tfrac{1}{2}\,VA\cdot VB\,\sin(\angle AVB)=\tfrac{1}{2}(30)(26)\sin 51.46^{\circ}\approx 390(0.7822)\approx 305\ \text{m}^{2}

检验。 每根拉索都比桅杆本身长（ $30>24$ 且 $26>24$ ），任何倾斜拉索都必然如此，这是直角三角形是否搭对的快速核查。

夹角 $\angle AVB\approx 51.5^{\circ}$ 小于地面上的 $120^{\circ}$ ，与图相符：从高处看，两个锚点显得更靠近。余弦值 $0.6231$ 落在 $-1$ 与 $1$ 之间，所以这个角是有效的。

如何找到合理的第一步

面对三维图形，可靠的第一步是在动用任何定理之前，先把它重画成一个个分开的平面三角形。从最确定的地方入手：竖直桅杆与平地成直角相接，所以在两个竖直平面里都在底端 $F$ 标上 $90^{\circ}$ 。

这一个观察就告诉你三角形 $VFA$ 和 $VFB$ 是直角三角形，于是勾股定理，而不是余弦定理，才是求拉索的快捷工具。只有地面上的平三角形带着给定的 $120^{\circ}$ ，所以它才是需要余弦定理的那一个。

把每个三角形单独重画、标出已知的边与角，能防止你把倾斜长度与地面长度混在一起，把一张拥挤的图变成三道干净、熟悉的题。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于三维三角形题，阅卷老师会找：

一张清楚的标注图，或分开的草图，标出桅杆与地面相接处的直角。
在每个竖直三角形里正确使用勾股定理： $VA=\sqrt{24^{2}+18^{2}}=30$ 与 $VB=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26$ 。
余弦定理用对了夹角，取 $\cos 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}$ 。
$AB^{2}=604$ 保持精确直到最后一行，再取近似 $AB\approx 24.58$ 米。
余弦定理正确变形求角，得到 $\cos(\angle AVB)=\tfrac{972}{1560}$ 。
面积用 $\tfrac{1}{2}\,VA\cdot VB\,\sin(\angle AVB)$ ，正弦里放的是角本身，而不是它的余弦。
最后写出单位（米、平方米）并作合理取近似。

老师如何帮助你

三维题奖励那些肯放慢重画的学生，而这个习惯在有老师盯着时长得最快。在一对一课堂上，我们的老师会请你把每个三角形从图里拎出来、先命名它的直角再选定理，这样你就不会对着一个勾股定理一行就能解决的三角形动用余弦定理。

我们会反复练习顺序，先竖直三角形、再地面三角形、最后倾斜三角形，直到它变成本能。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

为什么拉索用勾股定理就够，而

AB

不行？

因为竖直桅杆与平地成直角相接，三角形 $VFA$ 与 $VFB$ 是直角三角形，勾股定理能直接处理直角三角形。而 $AB$ 在地面三角形 $AFB$ 里，它的角是 $120^{\circ}$ ，是钝角（斜）三角形，所以要改用余弦定理。

为每个三角形配上正确的工具，正是这道题的核心。

我怎么知道该把哪个角放进余弦定理？

用夹角，夹在你已知的两条边之间的那个角。这里 $FA$ 和 $FB$ 已知，而 $120^{\circ}$ 就夹在它们之间、在 $F$ 处，所以它就是 $AB^{2}=FA^{2}+FB^{2}-2\,FA\cdot FB\cos 120^{\circ}$ 里该用的角。

选了一个不在两条已知边之间的角，是这类题最常见的失误。

如果我把

AB

取近似取得太早，会扣分吗？

有风险。把 $AB^{2}=604$ 保持精确，只在最后一步才取近似，或者在 (c) 里多带几位小数。

Add Math 试卷二为 2 小时 30 分钟、100 分，采用分步给分，步骤分奖励一条正确的过程链，但取近似取得太早，可能把最终的角或面积推到可接受范围之外。

画图真的能拿分吗？

标注草图本身通常不是一个独立的分，但它是拿到后续分数最快的办法。在桅杆底端标出直角，能让阅卷老师看出你为什么用勾股定理；把地面三角形单独画出来，能让正确的余弦定理写法一目了然。

一张清楚的图能把令人困惑的 3D 问题变成你能得分的步骤。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026