KBAT: Segi Tiga Tiga Dimensi

Q: Bagaimana saya tahu sudut mana untuk dimasukkan ke dalam petua kosinus?

Guna sudut kandung, sudut antara dua sisi yang sudah anda ketahui. Di sini FAFAFA dan FBFBFB diketahui dan 120∘120^{\circ}120∘ terletak di antaranya di FFF, jadi itulah sudut yang betul untuk AB2=FA2+FB2−2 FA⋅FBcos⁡120∘AB^{2}=FA^{2}+FB^{2}-2\,FA\cdot FB\cos 120^{\circ}AB2=FA2+FB2−2FA⋅FBcos120∘. Memilih sudut yang bukan antara dua sisi yang diketahui ialah kesilapan paling biasa.

Q: Adakah saya kehilangan markah jika membundarkan AB terlalu awal?

Anda berisiko. Kekalkan AB2=604AB^{2}=604AB2=604 tepat dan hanya bundarkan pada akhir sekali, atau bawa beberapa titik perpuluhan melalui bahagian (c). Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah memberi ganjaran rantaian kerja yang betul, tetapi nilai yang dibundarkan terlalu awal boleh menolak sudut atau luas akhir keluar dari julat yang diterima.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan penyelesaian segi tiga rutin memberi anda satu segi tiga dan satu petua untuk digunakan. Soalan KBAT tiga dimensi menyembunyikan beberapa segi tiga dalam satu rajah, sebatang tiang tegak, dua garis di atas tanah, dua dawai condong, dan tidak pernah memberitahu segi tiga mana untuk diselesaikan dahulu atau petua mana yang sesuai.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: setiap langkah ialah kerja Tingkatan 4, teorem Pythagoras, petua kosinus, rumus luas, tetapi melihat rajah rata sebagai objek sebenar, mengenal pasti segi tiga yang bersudut tegak dan yang cakah, serta memadankan alat yang betul untuk setiap satu, diserahkan kepada anda. Pelajar yang melakar situasi dan menanda sudut tegak di tempat tiang bertemu tanah rata mengubah gambar 3D yang padat menjadi rantaian pendek segi tiga 2D biasa yang sudah mereka tahu selesaikan.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[10 marks]

Sebatang tiang tegak $VF$ berdiri di atas tanah mengufuk, dengan puncak $V$ dan tapak $F$ ; tingginya $VF = 24$ m. Dua dawai regang menganjur dari puncak $V$ turun ke titik sauh $A$ dan $B$ yang dipacak di atas tanah rata, dengan $FA = 18$ m dan $FB = 10$ m.

Di atas tanah, sudut antara kedua-dua sauh, $\angle AFB$ , ialah $120^{\circ}$ . (a) Cari panjang setiap dawai regang, $VA$ dan $VB$ .

(b) Cari jarak $AB$ antara kedua-dua titik sauh. (c) Cari sudut $\angle AVB$ antara kedua-dua dawai di puncak tiang, dan seterusnya luas segi tiga $VAB$ .

Show worked solution

Faham. Tiang itu tegak, jadi ia bertemu tanah mengufuk pada sudut tegak: $\angle VFA = \angle VFB = 90^{\circ}$ .

Ini menjadikan segi tiga $VFA$ dan $VFB$ bersudut tegak, sesuai untuk teorem Pythagoras. Segi tiga $AFB$ terletak rata di atas tanah dan cakah, kerana sudutnya $120^{\circ}$ , jadi ia memerlukan petua kosinus.

Segi tiga atas $VAB$ ialah segi tiga condong yang cakah dalam ruang.

Rancang. Guna teorem Pythagoras dalam dua segi tiga tegak untuk mencari dawai $VA$ dan $VB$ .

Guna petua kosinus dalam segi tiga tanah $AFB$ untuk mencari $AB$ . Kemudian, dengan ketiga-tiga sisi segi tiga $VAB$ diketahui, guna petua kosinus sekali lagi untuk $\angle AVB$ , dan rumus luas $\frac{1}{2}\,VA\cdot VB\,\sin(\angle AVB)$ .

Laksana dan semak. (a) Dalam segi tiga tegak, kenakan teorem Pythagoras:

VA=\sqrt{VF^{2}+FA^{2}}=\sqrt{24^{2}+18^{2}}=\sqrt{900}=30

VB=\sqrt{VF^{2}+FB^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=\sqrt{676}=26

Jadi dawai regang ialah $VA = 30$ m dan $VB = 26$ m.

(b) Dalam segi tiga tanah $AFB$ , sudut $120^{\circ}$ ialah sudut kandung antara $FA$ dan $FB$ , jadi guna petua kosinus dengan $\cos 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}$ :

AB^{2}=FA^{2}+FB^{2}-2\,FA\cdot FB\,\cos 120^{\circ}=18^{2}+10^{2}-2(18)(10)\left(-\tfrac{1}{2}\right)=424+180=604

AB=\sqrt{604}\approx 24.58\ \text{m}

(c) Kini segi tiga $VAB$ mempunyai ketiga-tiga sisi: $VA=30$ , $VB=26$ , $AB^{2}=604$ . Susun semula petua kosinus untuk sudut di $V$ :

\cos(\angle AVB)=\frac{VA^{2}+VB^{2}-AB^{2}}{2\,VA\cdot VB}=\frac{900+676-604}{2(30)(26)}=\frac{972}{1560}=0.6231

\angle AVB\approx 51.46^{\circ}

Luas segi tiga condong itu kemudian mengikut daripada rumus luas:

\text{Luas}=\tfrac{1}{2}\,VA\cdot VB\,\sin(\angle AVB)=\tfrac{1}{2}(30)(26)\sin 51.46^{\circ}\approx 390(0.7822)\approx 305\ \text{m}^{2}

Semak. Setiap dawai lebih panjang daripada tiang itu sendiri ( $30>24$ dan $26>24$ ), sebagaimana yang mesti berlaku bagi dawai condong, semakan cepat bahawa segi tiga tegak dibina dengan betul.

Sudut $\angle AVB\approx 51.5^{\circ}$ lebih kecil daripada $120^{\circ}$ di atas tanah, yang menepati gambar: dilihat dari atas, kedua-dua sauh kelihatan lebih rapat. Nilai kosinus $0.6231$ terletak antara $-1$ dan $1$ , jadi sudut itu sah.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Dengan rajah tiga dimensi, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah melukis semula sebagai segi tiga rata berasingan, satu demi satu, sebelum mencapai mana-mana petua. Mula di tempat yang pasti: tiang tegak bertemu tanah rata pada sudut tegak, jadi tanda $90^{\circ}$ di tapak $F$ dalam kedua-dua satah tegak.

Pemerhatian tunggal itu memberitahu anda bahawa segi tiga $VFA$ dan $VFB$ bersudut tegak, jadi teorem Pythagoras, bukan petua kosinus, ialah alat pantas untuk dawai. Hanya segi tiga tanah rata membawa sudut $120^{\circ}$ yang diberi, jadi itulah yang memerlukan petua kosinus.

Melukis semula setiap segi tiga secara berasingan, dengan sisi dan sudut yang diketahui dilabel, menghalang anda daripada mencampurkan panjang condong dengan panjang tanah, dan mengubah satu gambar padat menjadi tiga masalah bersih yang biasa.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan segi tiga tiga dimensi, pemeriksa mencari:

Rajah berlabel yang jelas, atau lakaran berasingan, menunjukkan sudut tegak di tempat tiang bertemu tanah.
Teorem Pythagoras dikenakan dengan betul dalam setiap segi tiga tegak: $VA=\sqrt{24^{2}+18^{2}}=30$ dan $VB=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26$ .
Petua kosinus disusun dengan sudut kandung yang betul, menggunakan $\cos 120^{\circ}=-\tfrac{1}{2}$ .
$AB^{2}=604$ dikekalkan tepat sehingga baris akhir, kemudian dibundarkan kepada $AB\approx 24.58$ m.
Petua kosinus disusun semula dengan betul untuk sudut, memberi $\cos(\angle AVB)=\tfrac{972}{1560}$ .
Luas daripada $\tfrac{1}{2}\,VA\cdot VB\,\sin(\angle AVB)$ , dengan sudut itu sendiri, bukan kosinusnya, diletakkan dalam sin.
Unit (meter, meter persegi) dan pembundaran munasabah ditunjukkan pada akhirnya.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan tiga dimensi memberi ganjaran kepada pelajar yang perlahankan langkah untuk melukis semula, dan tabiat itu tumbuh paling cepat dengan seorang guru memerhati. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda mengeluarkan setiap segi tiga daripada rajah dan menamakan sudut tegaknya sebelum memilih petua, supaya anda tidak menembak petua kosinus pada segi tiga yang teorem Pythagoras boleh selesaikan dalam satu baris.

Kami melatih susunan, segi tiga tegak dahulu, segi tiga tanah kemudian, segi tiga condong akhir, sehingga ia terasa automatik. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa teorem Pythagoras memadai untuk dawai tetapi tidak untuk

AB

Kerana tiang tegak bertemu tanah rata pada sudut tegak, segi tiga $VFA$ dan $VFB$ bersudut tegak, dan teorem Pythagoras mengendalikan segi tiga tegak secara terus. Jarak $AB$ berada dalam segi tiga tanah $AFB$ , yang sudutnya $120^{\circ}$ , segi tiga cakah, jadi ia memerlukan petua kosinus.

Memadankan alat yang betul untuk setiap segi tiga ialah inti soalan ini.

Bagaimana saya tahu sudut mana untuk dimasukkan ke dalam petua kosinus?

Guna sudut kandung, sudut antara dua sisi yang sudah anda ketahui. Di sini $FA$ dan $FB$ diketahui dan $120^{\circ}$ terletak di antaranya di $F$ , jadi itulah sudut yang betul untuk $AB^{2}=FA^{2}+FB^{2}-2\,FA\cdot FB\cos 120^{\circ}$ .

Memilih sudut yang bukan antara dua sisi yang diketahui ialah kesilapan paling biasa.

Adakah saya kehilangan markah jika membundarkan

AB

terlalu awal?

Anda berisiko. Kekalkan $AB^{2}=604$ tepat dan hanya bundarkan pada akhir sekali, atau bawa beberapa titik perpuluhan melalui bahagian (c).

Add Math Kertas 2 ialah 2 jam 30 minit dan 100 markah dengan pemarkahan analitik, jadi markah kaedah memberi ganjaran rantaian kerja yang betul, tetapi nilai yang dibundarkan terlalu awal boleh menolak sudut atau luas akhir keluar dari julat yang diterima.

Adakah rajah benar-benar memperoleh markah?

Lakaran berlabel biasanya bukan markah dengan sendirinya, tetapi ia cara paling pantas memperoleh markah yang menyusul. Menanda sudut tegak di tapak tiang menunjukkan pemeriksa mengapa anda menggunakan teorem Pythagoras, dan mengasingkan segi tiga tanah menjelaskan penyusunan petua kosinus yang betul.

Rajah yang jelas mengubah masalah 3D yang mengelirukan menjadi langkah yang boleh anda dapat markah.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Masalah Segi Tiga Tiga Dimensi